一道课本例习题变式探究

湖北省武汉市鲁巷中学(430074) 熊燕

1 原题再现

例题1 (人教版教材九年级上册P87 例4)

如图1,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,∠ACB的平分线交⊙O于点D,求BC,AD,BD的长.

图2

例题2 (人教版教材九年级上册P90 第14 题)

如图3,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°,判断ΔABC的形状,并证明你的结论.

图3

解析ΔABC是等边三角形.证明如下:在⊙O中,∠BAC与∠CPB是弧BC所对的圆周角,∠ABC与∠APC是弧AC所对的圆周角,∴∠BAC=∠CPB,∠ABC=∠APC,又∵∠APC=∠CPB=60°,∴∠ABC=∠BAC=60°,∴ΔABC是等边三角形.

2 变式探究

变式1 如图1,⊙O的直径AB,弦AC,∠ACB的平分线交⊙O于点D,连接BC,AD,BD.求证:CA+CB=

证法一:如图4 所示,延长CB至E,使得BE=AC,∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,∴∠AOD=∠BOD.∴AD=BD.又根据圆内接四边形对角互补,∴∠CAD+∠CBD=180°,又∵∠CBD+∠EBD=180°,∴∠CAD=∠EBD,∴ΔCAD～=ΔEBD(SAS),∴CD=DE,CA=BE,∠ACD=∠BED.又∵∠ACB=∠ACD+∠BCD=90°,∴∠BED+∠BCD=90°,即∠CDE=90°,∴ΔECD是等腰直角三角形,∴CE=CB+BE=CB+CA=

图4

(也可以如图5 所示,延长CA至E,使得AE=CB,可证明ΔCBD～=ΔEAD,则CB=AE,再证明ΔECD是等腰直角三角形,CE=CA+AE=即CA+CB=

图5

评析:从几何图形的变化角度思考,旋转构造三角形全等;从等式的变化角度思考,线段的补短(线段CB往B端补短);从的数值角度思考,构造等腰直角三角形.

证法二:如图6 所示,延长线段BC至E,使得CE=AC,连接AE.∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=∠ACE=90°.∴ΔACE是等腰直角三角形,∴∠E=∠CAE=45°,AE=∴CA+CB=CE+CB=BE,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD=45°,又弧AC=弧AC,∴∠EBA=∠CDA,∠E=∠ACD=45°,∴ΔEAB～ΔCAD,即∴CA+CB=BE=

图6

(也可以如图7 所示,延长AC至E,使得CE=CB,可证明ΔECB是等腰直角三角形,则CA+CB=CA+CE=AE,再证明ΔCBD～ΔEBA,则即CA+CB=

图7

评析:从等式的变化角度思考,线段的补短(线段CB往C端补短);从的角度思考,构造等腰直角三角形;从几何图形的变化角度思考,旋转构造三角形相似.

证法三:如图8 所示,过点D分别作DE⊥CA,DF⊥CB于点E,点F,则∠AED=∠BFD=∠CFD=90°,∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,AD=BD,DE=DF.∴RtΔADE～=RtΔBDF.∴∠ADE=∠BDF,AE=BF,又∠AED=∠ACB=∠CFD=90°,∴四边形CEDF是矩形,又DE=DF,∴四边形CEDF是正方形.∴CD=∴CA+CB=CE-AE+CF+BF=2CE=

图8

评析:当角平分线构成的等量关系与圆的知识结合时,可以转化成“等角、等弧、等弦”互化问题,联想角平分线性质“作垂线构全等”.

变式2 如图9,⊙O的直径AB,弦AC,AD,BD,BC,CD,且AD=BD,AC＜BC.求证:CB-CA=

图9

证法一:如图10,在线段BC上取点E,使BE=AC,连接DE.∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∵弧CD=弧CD,∴∠CAD=∠EBD.又∵AD=BD,∴ΔCAD～=ΔEBD(SAS).∴CD=DE,∠ADC=∠BDE,又∠ADB=∠BDE+∠ADE=90°,∴∠CDE=∠CDA+∠ADE=90°,∴ΔCDE是等腰直角三角形,CE=∴CB-CA=CB-BE=CE=

图10

评析:从几何图形的变化角度思考,旋转构造三角形全等;从等式的变化角度思考,线段的截长(线段CB截取BE);从的数值角度思考,构造等腰直角三角形.

证法二:如图11,在线段BC上取点E,使CE=AC,连接DE.∵AB是直径,∴∠ACB=∠ADB=90°.∵AD=BD,CE=AC,∴ΔADB和ΔCDE是等腰直角三角形,∠BAD=∠DBA=∠CAE=∠CEA=45°,且AB=,∴∠AEB=135°.又∵弧BD=弧BD,∴∠BCD=∠BAD=45°.∴∠ACD=∠ACB+∠BCD=135°,又∵弧AC=弧AC,∴∠ABE=∠ADC,∴ΔEAB～ΔCAD,即∴CB-CA=CB-CE=BE=

图11

评析:从等式的变化角度思考,线段的截长(线段CB截取CE);从的角度思考,构造等腰直角三角形;从几何图形的变化角度思考,旋转构造三角形相似.

变式3 已知等腰直角ΔABD是⊙O的内接三角形,∠ADB=90°.AD=BD,点C是⊙O上的点,AC＜BC.请判断线段CA,CB,CD之间的数量关系,并说明理由.

分析根据点C是⊙O上的动点,可分两种情况进行讨论:

(1)当点C和点D分别位于直径AB两侧时,如图1 所示,则可证明:CA+CB=

(2)当点C和点D分别位于直径AB同侧时,如图8 和图12 所示,则可证明:|CB-CA|=

图12

点评在数学解题活动过程中,对原题进行有层次地推进应用变式,使学生在解决问题活动中发现多个台阶或者多种途径,从而形成多层次的活动经验系统,培养学生的应用意识与创新意识.

变式4 (2022 年湖北省武汉市九年级元调数学第20 题)如图3,A,P,B,C是⊙O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.(1) 判断ΔABC的形状,并证明你的结论.(2) 证明:PA+PB=PC.

解析(1)ΔABC是等边三角形.证明如前面例2.

(2) 如图13 所示,在PC上取点D,使PD=PA,连接AD.∵∠APC=60°,∴ΔAPD是等边三角形.∴PA=DA,∠PAD=60°.又∵ΔABC是等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°,∴∠PAD=∠BAC=60°,∴∠BAP=∠CAD,∴ΔABP～=ΔACD,∴PB=DC,∴PA+PB=PC.

图13

(也可以在PC上取点D,使CD=PB,连接AD.可证明ΔABP～=ΔACD,则PA=DA.再证明ΔAPD是等边三角形,则PD=PA,∴PC=PD+DC=PA+PB.)

变式5 已知等边ΔABC是⊙O的内接三角形,点P是⊙O上的点(不与A,B,C三点重合).请判断线段PA,PB,PC之间的数量关系,并证明你的结论.

分析根据点P是⊙O上的动点,可分三种情况进行讨论:

(1) 当点P在弧AB上时,如图13 所示,则PC=PA+PB.(2) 当点P在弧BC上时,如图14 所示,则PA=PB+PC.(3)当点P在弧AC上时,如图15 所示,则PB=PA+PC.

图14

图15

证明方法与变式4 类似.

变式6若A,P,B,C是⊙O上的四个不同点,AB=AC,∠BAC=α.请判断线段PA,PB,PC之间的数量关系(用含α的式子表示),并证明你的结论.

分析根据点P是⊙O上的动点,可分三种情况进行讨论:

(1)当点P在弧AC上时,如图16 所示,则PB-PC=

图16

解法一如图17 所示,在线段PB上取点D,使AD=AP,连接AD.∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB,又∵弧AB=弧AB,∴∠APB=∠ACB,即∠ABC=∠APB.在等腰ΔABC和ΔADP中,∠BAC=∠DAP=α,∴∠BAD=∠CAP,又AB=AC,AD=AP,∴ΔABD～=ΔACP,∴BD=PC,PB-PC=PB-BD=PD,在等腰ΔADP中,过点A作AE⊥PD于点E,则∠DAE=∠PAE=∠DAP=α,∴PE=DE=PA×sin.∴PB-PC=2PA×sin

图17

图18

(2)当点P在弧AB上时,如图19 所示,则PC-PB=2PA×sin.证明方法类似(1).

图19

图20

图21

图22

图23

图24

图25

图26

3 结语

教材中的例习题是解题的素材,要深入理解教材中习题,并引导学生深入分析,之后再进行解题的反思与归纳,从而提升学生的归纳能力.习题变式探究教学是促进有效数学学习的重要途径,通过对数学对象(数学概念、定理、公式等)从不同角度、不同层次、不同背景进行合理的变式探究,有意识地引导学生拾级而上,从“变”的现象中发现“不变”的本质,从“不变”中探求规律,从而深化对数学知识的理解,将特殊问题一般化,使零散知识规律化,改善学生对数学的认知结构,提高识别、应变、概括能力,达到学生能“发现问题、提出问题并解决问题”的目的,从而提高应用创新能力,提升学生的数学核心素养.

总之,例习题变式探究训练要求学生所做的习题不在于多而在于精,千题万题源于母题(课本原题),引导学生跳出题海,融会贯通,举一反三.习题变式探究教学使教师和学生在低消耗、低成本的教学过程中,达到教学的最优化和效果的最大化.