切比雪夫不等式及其应用

魏汗宸

摘 要：切比雪夫不等式是概率论与数理统计中的一个重要公式，它不仅在定理证明上有着重要的作用，并且应用也非常广泛。本文将先介绍有关随机变量的理论知识，然后说明切比雪夫不等式在估计随机变量取值概率上的应用，运用其证明切比雪夫不等式大数定理。

关键词：切比雪夫不等式 估值 大数定律

一、基础理论知识

随机变量：

设 为定义在样本空间 上的实值函数，则称 为随变量。若它仅取有限个或可列个值，则称其为离散型随机变量。若它的可能取值充满数轴上的一个区间 ，则称其为连续性随机变量。[1]

分布函数：

设 为随机变量，对任意实数 ，称：

为随机变量 的分布函数。记为： 。

数学期望：

设离散型随机变量 的分布列为 如果： ，则称： 为离散型随机变量 的数学期望。

设连续型随机变量 的密度函数为 ，如果： ，则称：

为连续性随机变量 的数学期望。[2]

数学期望的性质：

对任意常数 ， 。

对任常数 ， .

对任意两个函数 ，

有 .

方差：

若随机变量 的数学期望 存在，则称偏差平方 的数学期望为随机变量 的方差，记为 .[3]

对任意常数 ，

对任意常数

切比雪夫不等式：

设随机变量 的数学期望和方差存在，

则对任意常数 有：

证明：

依概率收敛：

设 为一随机变量序列， 为一随机变量，如果对任意 ，有：

则称序列 依概率收敛于 。

联合分布函数：

对任意 个随机变量 ，以及任意 个实数 ，记 同时发生的概率：

称 为 维随机变量 的联合分布函数。

随机变量间的独立性：

设维随机变量 的联合分布函数为 ， 为 的分布函数，若对任意 个实数 ，有：

则称 相互独立。

二、切比雪夫不等式的应用

例1：设随机变量 的方差存在，且 ，求 。

证明：

由于 的方差存在，则其期望也存在，设 的期望为 ，

由于：

，

则：

从而：

于是可得：

从而可得到 几乎处处为常数 。

例2 ：在 次独立重复抛掷硬币中，记抛得正面为成功，要使“抛掷成功的频率在0.4至0.6”的概率大于等于0.9，问至少要进行多少次抛掷？

解：记 表示第i次抛掷硬币成功， 表示第i次抛掷硬币失败

则：

表示n次独立重复抛掷硬币中抛掷成功的次数，且由期望和方差的性质可得：

要使“抛掷成功的频率在0.4至0.6”的概率大于等于0.9，即：

从而可得至少要进行250次抛掷。

例3：设 为相互独立的随机变量序列，每个随机变量的方差存在，且存在共同的上界 。

即满足： .证明随机变量序列 依概率收敛于 .

证明：由于 相互独立，从而有：

由切比雪夫不等式可得：

从而可得到：

随机变量序列 依概率收敛于 .

结语

由上只是简单举例分析了切比雪夫不等式在证明常数方差为零，估值，依概率收敛上的应用，除了这些，切比雪夫不等式在证明马尔科夫不等式上也有相应的应用。这里不再赘述。

参考文献

[1]茆诗松.概率论与数理统计简明教程[M].高等教育出版社，2012.

[2]李念伟.切比雪夫不等式的应用[J].科技创新导报，2013（31）：217-217.

[3]霍玉洪.切比雪夫不等式及其應用[J].长春工业大学学报，2012，33（6）：712-714.