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初中数学复习中习题变式中条件的弱化和强化

时间:2024-06-01

张英杰

摘 要:中考数学复习中,教师要加强对课本例、习题和中考数学试题的研究,立足基础,力求变化,形成问题链,以达到“做一题,通一类,会一片”的教学效果,真正提高45分钟的课堂复习效益,切实减轻学生的学习负担。

关键词:复习 变式 題组

新课程下的数学教学,我们强调的是教师的“变通”。现在处于紧要关头的中考数学复习教学,更能体现教师的付出和实效,目的是在两三个月的时间内达成中考复习的各项目标,这里包括数学知识的全面掌握、解题的技能和各种能力的强化提高、数学思想方法的灵活应用等。

我以一道极其常见而又简单的习题为例,看看中考数学复习教学中几何问题所常用的变式策略,并选某地的中考数学试题具体说明对问题的变式及应用,给中考数学复习以启示。

题目 已知:在 和 中,AC=CE,点D在边BC的延长线上,且 。求证: 。

一、分析思考拓展

从学生熟悉又简单的问题出发,通过不断演变,逐渐深入研究,不但有利于学生学习的畏难心里,让学生积极、主动地投入到中考数学复习中,而且还有利于帮助学生全面又系统地掌握数学知识、数学思想和数学方法,大大的提高学生综合应用知识解决问题的能力。

我们知道,几何问题的演变策略通常有五种:

(1)条件的弱化或强化;

(2)结论的延伸与拓展;

(3)基本图形的变化和拓展;

(4)条件、结论的互逆变换(即建立并讨论原命题的逆命题);

(5)基本图形的构造与应用;二、以“条件的弱化或强化”为例,分析变式

针对上面习题的条件“AC=CE(线段相等)”、“ (三个角都为直角)”和特殊结论“ (三角形全等)”,以及所具有的简单而特殊的图形,我们可以对这道习题作各种常用的变式。下面我们就尝试一下这道题的条件的弱化或强化。

当一个命题成立的条件较为多样时,我们可考虑减少其中一两个条件,或将其中的一两条件“一般化”,并确定相应的命题结论,这样的目的是概括成新命题以求拓展应用。针对上述习题中的关键条件“AC=CE”和“ ”,可分别弱化或同时弱化。

1.弱化条件“AC=CE(线段相等)”,则结论由三角形全等弱化为三角形相似

变式命题1:在 和 中,点D在边BC的延长线上,且 。求证:△CAB~△ECD。

例1 正方形ABCD的边长为4cm,点P是BC边上不与点B,C重合的任意一点,连接AP,过点P作 交DC于点Q,设BP的长为 cm, CQ的长为 cm。

(1)求点P在BC上运动的过程中 的最大值;

(2)当 时,求 的值。

例2 边长为1的正方形OABC的顶点O为坐标原点,点A在 轴的正半轴上,点C在 轴的正半轴上。动点D在线段BC上移动(不与点B,C重合),连接OD,过点D作 ,交边AB于点E,连接OE。记CD的长为 .

(1)当 时,求直线DE的函数表达式。

(2)如果记梯形COEB的面积为S,那么S是否存在最大值?若存在,试求出这个最大值及此时 的值;若不存在,试说明理由。

(3)当 的算术平方根取最小值时,求点E的坐标。

[分析]我们来看例1和例2,一道是中等难度的运动变化问题,一道是中考压轴题,它们都巧妙地运用了正方形的特殊性,弱化了条件,发现问题中所蕴含的变式命题1,并能正确运用其具有的相似这一结论,成了解决此类问题的突破口。

2.同时弱化条件“线段相等”和“直角”,则结论由全等弱化为相似。

变式命题2:在 和 中,点D在边BC的延长线上, 。则: ~

这里的条件为三个角相等,至于等于多少度,并无要求,可以是下面例题中的 、 或 等特殊的度数,也可以是一个一般的度数。因而,变式命题3在中考命题中的拓展与应用更为广泛。

例3 在等腰 中,AB=AC=8, ,P为BC的中点。小红拿着含 角的透明三角板,使 角的顶点落在点P,三角板绕点P旋转。

(1)当三角板的两边分别交AB,AC于点E,F时,

求证:△BPE~△CFP

(2)操作:将三角板绕点P旋转到图1(2)情形时,三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E,F。

(1)探究1、 与 还相似吗?

(2)探究2、连接EF, 与 是否相似?试说明理由。

(3)设EF=m, 的面积为 ,试用含m的代数式表示 。

[分析]我们看三个例题分别结合学生熟悉的等边三角形、等腰直角三角形和三角板,创设了“3个角相等”的条件,因而三例都要运用三角形相似解决问题。通过这一系列问题的解决,让学生经历了问题的变化、解决的过程,帮助学生认识蕴含在这些变化中的共同点和规律,有助于提高学生对此类问题及其解决策略的认识、理解与掌握。

例4 在笔直的公路的同侧有A,B两个村庄,已知A,B两村分别到公路的距离AC=3km,BD=4km。

(1)现要在公路上建一个汽车站P,使该车站到A,B两村的距离相等,试用直尺和圆规在图中作出点P(不写作法,保留作图痕迹);

(2)若连接AP,BP,测得 ,求A村到车站P的距离。

[分析]我们看这题是一道几何实际应用问题,题中给出了AC,BD的长度,强化了基本问题的条件,学生若能发现这一点,就能很快运用三角形全等和勾股定理解决问题。

通过具体的案例,我们发现在中考数学复习中,教师要加强对课本例、习题和中考数学试题的研究,立足基础,力求变化,形成问题链,以达到“做一题,通一类,会一片”的教学效果,真正提高45分钟的课堂复习效益,切实减轻学生的学习负担。

参考文献

[1]吴洪生.虽小立意深刻尽显考生探究能力[J].中学数学教学参考(上旬),2016(10):59

[2]陈玉娟.简中求道:追求数学教学的本真[J].中学数学教学参考(上旬),2016年(8):29

[3]陈志江.摭谈考试用题的改编注意点[J].中学数学教学参考(上旬),2016年(8):60endprint

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