加强数形结合，提高解题能力加强数形结合，提高解题能力

李惠兰

数形结合的思想方法能沟通“数”和“形”之间的内在联系，通过对图形的认识、“数”和“形”之间的转化，可以提高思维的灵活性、形象性、直观性，从而使得问题容易解决。

在解题的过程中，通过数形结合，根据问题的不同特点，利用“数”和“形”各自的优势，把数量关系问题转化为图形性质问题来处理，或者把图形性质问题转化为数学关系问题来研究，将的数学语言与直观的图形相结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而化复杂为简单，化未知为已知，最终使问题得已解决。

一、由数思形，数形结合，用形解决数的问题

（1）利用数轴理解数正负、大小的概念，便具有了几何意义，一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离。

例1：实数a，b在数轴上的位置如图1所示

化简：|a+b|+= .

分析：由图1可知a<0，b>0，a+b>0，b-a>0.

∴原式=-a-b+b-a=-2a.

点评：解题的关键是读懂数轴，把图形语言转化成解题所要求的数据。借助数轴可以解决实数问题，还可以解决不等式（组）问题。

（2）解直角三角形的应用更是数形结合的典型材料。

例2 已知a，b，c为Rt△ABC的三边，其中∠C=90°，化简：|a-b-c|+++.

分析：这里a，b，c是直角三角形三边，具有几何意义，如图2，由三角形三边关系定理：ac，c

勾股定理：a2+b2=c2.

因此，原式=-（a-b-c）+（a+b+c）+c-（c-a-b）=a+3b.

（3）平面直角坐标系建立后使有序实数对具有了几何意义，由点可确定点的坐标，由坐标可确定点，一次函数、二次函数、反比例函数只有利用它们的图象，才能更深刻地理解它们的性质.

例3 如图3，已知二次函数y=ax2-4x+c的图象经过点A和点B。

（1）求该二产欠函数的表达式；

（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；

（3）点P（m，m）与点Q均在该函数图象上（其中m>0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q到x轴的距离.

分析：（1）观察图象，得A（-1，-1），B（3，-9）.

得方程组

解得

∴该二次函数的表达式为y=x2-4x-6.

（2）对称轴为x=2；顶点坐标为（2，-10）.

（3）将（m，m）代入表达式，解方程得m1=-1，m2=6.

∵m>0， ∴m=6

∵点P与点Q关于对称轴x=2对称，

∴点Q到x轴的距离为6.

点评：解题的关键是通过点的坐标把握函数的图象及其性质。借点平面直角坐标系，把数量关系通过图象直观化、形象化、动态化，同时又可以根据图象特征及相關知识探究隐含的数量关系，将图象特征具体化。

（4）借助图表解代数问题。

例4 小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示。根据图中的数据（单位：m），解答下面问题：

（1）用含x、y的代数式表示地面总面积；

（2）已知客厅面积比卫生间面积多21m2，且地面总面积是卫生间面积的15倍。若铺1m2地砖的平均费用为80元，那么铺地砖的总费用为多少元？

分析：（1）地面总面积为：6x+2y+18（m2）.

（2）根据题意，得解得

∴地面总面积为6x+2y+18=45.

∴铺地砖的总费用为：45×80=3600（元）。

点评：解题的关键是理解题意，读懂图表。通过对图表中数据信息的分析、比较、判断和归纳，弄清数据间的内在联系，一身是胆我学知识（主要是方程（组）、不等式（组）、函数及统计知识），正确建立数学模型解决问题。

二、由形思数，形数结合，用数解决形的问题

（1）利用数来解决几何的面积问题。

例5 如图5所示，已知矩形ABCD的边BC上一点P，CD边上一点Q，连结AP，PQ，AQ，得S△ABP=2， S△PCQ=3， S△ADQ=4，求矩形ABCD的面积。

分析：由形思数，形数结合，由于四边形ABCD是矩形，可知△ABP，△PCQ，△ADQ都为直角三角形，又由S△ABP=2， S△PCQ=3， S△ADQ=4，可以得到它们的对应式子为AB·BP=4，PC·CQ=6，DQ·AD=8，这样可利用解方程组的方法来求解。

设AB=x，BC=y，CQ=n，可列方程组：

（1）+（2）+（3）并整理得，得m（x-n）=18-xy.（4）

（1）×（3），得xy·m（x-n）=32. （5）

由（4）代入（5），得xy（18-xy）=32，

即（xy）2-18xy+32=0，

解得：xy=16或xy=2（不合题意，舍去）。

所以，矩形ABCD的面积是16.

（2）利用数来解决圆的有关求证问题。

例6：如图6，已知：⊙O中三弦AB，CD，EF两两相交于点P，Q，R，并且AP=EQ=RD，CP=QB=RF，求证：△RQP是等边三角形。

分析：此题用纯几何法证明难度较大，可从数量关系上来考虑：设AP=EQ=RQ=x，CP=QB=RF=y，PQ=a，QR=b，RP=c，

由相交弦定理，得化简得

将三式相加，得（a+b+c）x=（a+b+c）y，

∴x=y，可得a=b=c，

∴△RQP是等边三角形。

从以上两例可以看出，形的直觉缺少严格性，形少数时难

入微。