数列求和常用的方法

曾益俊

数列是高中数学中的重要知识，又是学习高等数学的基础，是高考常考的内容之一，在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位，数列求和是数列的重要内容之一，在求解数列求和问题时所使用的方法离不开问题的本质，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。本文将数列求和的常用方法进行了整理，供大家教学或复习时参考。

一、直接法

如果给定的是特殊的数列，可直接应用公式求和。这是数列求和的最基本的方法。常用的数列求和公式有：

1.等差数列求和公式：；

2.等比数列求和公式：；

3.；

4.；

5.

例1.已知等差数列前10项和是310，前20项和是1220。求Sn。

【解析】 由题意知S10=310，S20=1220

将他们代入公式，

得到

解这个方程组得

所以

二、分组求和法

有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，能分成几个等差、等比或常见的数列和与差的形式，然后对拆开后的数列分别求和，再将其合并即可求出原数列的和.

例2.已知数列的通项公式为，求其前项和.

[解析]

设

三、裂项相消法

裂项相消法的实质是将所求和式中的通项拆项，然后重新组合，使出现抵消达到求和目的。常见的拆项还有：

例3. 已知数列，且，求其前项和.

[解析]

四、错位相减法

若是等差数列，是等比数列，求的前项和时，一般用错位相减法。即求和时一般可在已知和式两边都乘以组成这个数列的等比数列的公比，然后再將所得到的新式子与原和式相减，转化为同倍数的等比数列求和。

例4. 求和.

[解析]由题意①

的通项是等差数列的通项与等比数列的通项之积。

设②

①-②得

五、倒序相加法

倒序相加法就是把数列正序写与倒序写相加，则对应的两项的和出现相同的常数，即出现个（常数），达到求和的目的.对某些前后具有对称性的数列可倒序求和法求其前n项和。

例5.求证：

[解析]设①

把①式右边倒转过来得

又由可得②

①+②得

原命题得证。

六、并项求和法

针对一些特殊的数列，将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质，在数列求和时，可考虑把这些项放在一起先“配对”求和，然后再求出。

例6. 求和.

[解析]

当n为奇数时

当n为偶数时

七、通项分析法

先根据数列的结构及特征进行分析，找出数列的通项及其特征，然后再利用数列的通项揭示的规律来求数列的前n项和。这也是数列求和不可忽视的一中重要方法。

例7.

[解析]

对于以上的各种方法，大家应注意体会其中所蕴含的分类讨论及化归的数学思想方法。当然，数列求和的方法还有很多，大家平时还应多注意总结。endprint