由一道中考压轴题谈学生的作图能力オ

张志锋

课堂教学是锻造学习技能、学习品质为目的和追求的活动中考数学试题的设置，也是遵循和按照新课程标准提出的科学要义和能力标准而精心预设众所周知，数学精致的做到了精确性的“数”和直观性的“形”科学融合、高度结合在探究解答数学习题进程中，需要学习对象灵活、高效的运用数与形的互补、互促特点，以直观、直白、形象的图形符号进行认知和解析对数学图形的操作技能是初中数学课堂学生群体解析数学案例的必备能力之一，同时是主体探析数学内涵的必需素养之一

近阶段笔者在“函数”章节试题教学中，在中考压轴题（例1）的讲解中发现有部分学在第（2）小题中用分割法求图形面积时辅助线不知如何画，第（3）小题中对于三角形相似的一些基本图形不熟悉导致图形画不出因此深刻体会和领悟到，初中学生数学作图能力的养成对提升解题能力水平、提高学生中考成绩，具有举足轻重的重要作用作图能力应成为初中数学教师的重要使命之一，予以深入贯彻和执行

例1（2012年苏州）已知抛物线y=14x2-14（b+1）x+b4 （b是实数且b>2）与x轴的正半轴分别交于点A、B（点A位于点B的左侧），与y轴的正半轴交于点C

（1）点B的坐标为，点C的坐标（用含b的代数式表示）；

（2）请你探索在第一象限内是否存在点P，使得四边形PCOB的面积等于2b，且△PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由；

（3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q，使得△QCO，△QOA和△QAB中的任意两个三角形均相似（全等可作相似的特殊情况）？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由

一、初中生数学作图能力之现状

根据2011年颁布的义务教育阶段数学课标要求精神，教学工作者要培养学生解决实际问题，能从主观上和客观上主动运用数学思维的角度，借助已有知识和已有解题方略进行案例有效解决作图能力是学生解决实际问题的重要策略之一但笔者发现，初中生数学作图能力现状不容乐观，需要引起重视一是数学作图的能动意识薄弱很多初中生在面对数学问题案例时，特别是在解析数学题意条件之间的关系时，第一反应没有落实在数形结合解决数学问题的点子上来，借助于画图工具，将案例的呈现条件之间的内在关联弄清理顺，而是固执的“抠”题意，想办法内心没有利用作图进行问题解答的主动意识和能动意识二是数与形之间的结合度不高众所周知，数学作图，其活动过程是以形补数的落实活动，是参与主体数学的“数”和符号的“形”有机融合、高度浓缩的进程部分初中生在数学案例的作图过程中，不能够将作图看作是案例条件内容的巩固过程，展现过程以及认知过程，容易将数学问题条件中的一些关键内容和细枝末节忽视掉，导致所作的图形与实际问题案例“差之毫厘，谬之千里”三是图形条件认知没有深度在问题案例的图形展示过程中，学习实践者要借助于图形，找寻出问题条件之外所隐含的丰富数学知识点，并通过添加辅助线的形式，将问题条件内容之间联系有效呈现，为解决问题搭建联系沟通桥梁纽带但有些初中生数学素养不高、解决技能不优，在一些具体的问题案例作图中，灵活思维不够、拓展不够深入，难以从复杂情况中找出辅助线添加的时机，出现解析思维的“卡壳”，解题活动不够顺利

二、锤炼数学作图能力的策略建议

图形使用能力是新课标对学习对象提出的一个重要标尺，同时也是对教学工作者提出的一个重点任务加之近几年数学中考政策的设置以及试题考查的要求和以往有所变化，对初中生图形构造和分析运用水平的考量标准相对越高愈深数学图形运用，利用图形技能的培养已势在必行，切实落实，加强培养

一是强化数学知识素养的积淀在数学作图进程中实施者需要借助于深厚丰富的数学知识内容进行动手操作，他是对数学知识内容的有效运用、综合统筹的活动进程教学实践证明，具有正确操作方法、具有良好作图能力、具有高效析图能力的学生，其数学知识素养较为深厚，数学解析技能较为优良因此，教师应切实初中生数学基础知识的积淀工作，将平时数学知识讲解活动做实，引导和指导初中生将数学教材关键要点、核心精髓等深刻的理解和全面的领会，在积蓄广博知识素养中，开展作图活动，打下坚实的根基

二是重视数学作图活动的教学正确的作图方法是学生作图能力素养的重要内涵以及表现形式之一作图方法的教学，教者应将此贯穿落实于平时数学教学的点点滴滴、时时刻刻之中，借助于数学问题这一有效载体，引导初中生根据数学案例内容，将抽象问题直观、具体、生动展示，使其思维活动实现从抽象思维向形象思维转变如“四边形”这一章节中，在讲解“在一个△ABC中，E是边AD上的中点，BC的平行线交CE的延长线于F，且AF=BD（1）求证：四边形AFDC是平行四边形；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由”数学问题讲解中，教师组织学生开展数学问题条件及要求的感知和阅读活动，并让他们根据上述数学问题条件所揭示的数学条件关系，进行问题条件的“演化”活动，进行数学图形的演示活动，根据问题条件逐步清晰展示图形符号，同时，组织学生结合数学案例条件完善该数学图形，进行数学案例的条件分析和归纳活动，从而实现数与形之间的有机融合，提高其作图效果

三是强化案例作图过程的训练笔者以为，作出符合问题条件及要求的图形，是作图能力的较低层次，只是将“数”转化为“形”的活动，如何从“数”与“形”中，归纳提炼出问题内在的复杂数量关系以及丰富知识外延，找寻出解决问题的有效突破口，添加已知与未知之间的辅助线“桥梁”是作图能力发展的高级形式以及学生作图水平的高层次展示

例2（2014年苏州）已知⊙O上依次有A、B、C、D四个点，AD[TX（]=BC[TX（]，连接AB、AD、BD，弦AB不经过圆心O，延长AB到E，使BE=AB，连接EC，F是EC的中点，连接BF

（1）若⊙O的半径为3，∠DAB=120°，求劣弧BD[TX（]的长；

（2）求证：BF=12BD；

（3）设G是BD的中点，探索：在⊙O上是否存在点P（不同于点B），使得PG=PF？并说明PB与AE的位置关系

此题的关键是正确做出辅助线，很多学生对（2）求证：BF=12BD无从入手，如果学生能正确认识三角形中位线等有关线段特殊数量关系的基本图形的话，易得辅助线是连接AC

通过对近几年的中考命题，特别是数学学科最后压轴题的研析，可以发现，作图能力的高层次要求在压轴题的解答过程中，表现的尤为突出这就要求初中数学教师要重视对数学作图能力高层次内容的培养，善于引导和指导学生深层次理解和研析数学条件内涵，并能练习与之相关的基本图形，找寻添加辅助线的关键之处，从而将解题薄弱处和连接处进行有效攻克，实现数学案例的有效解决

新课程提出的目标要求以及中考命题设置的要求，都将学生作图能力水平作为考查考核的一个必查内容教师应认真实施、精心组织，细心指导，严格训练，在科学指点、深入践行中，实现包括作图能力水平在内的解析问题能力的大提升