由简单到复杂

陈振

摘 要：平抛运动是中学物理中曲线运动的一种特例.为了能让学生更好地深入理解平抛运动的规律，本文从常见的习题出发，结合生活的实例逐步引导学生构建现实问题中平抛运动的物理模型，培养学生独立解决实际问题的能力，提升学生的核心素养.

关键词：平抛运动;变式拓展;模型

平抛运动是典型的匀变速曲线运动的模型，既是中学物理中的重点，又是历年高考的热点， 因此加强对平抛运动的认识，显得十分重要.

平抛运动是中学物理中曲线运动的一种特例.当物体初速度水平且仅受重力作用时的运动，被称为平抛运动.其轨迹为抛物线，性质为匀变速运动.平抛运动经常与实际生活相联系，同时又包含了解决曲线运动常用的方法——“化曲为直”，为此，处理平抛运动的基本思路是利用运动的合成与分解知识，将平抛运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动这两个分运动.广义上讲，当物体所受的合外力恒定且与初速度垂直时，做类平抛运动，所以，分析解决平抛运动的方法也是分析其他类平抛运动的基础.

为了能让学生更好的深入理解平抛运动的规律，本文从常见的习题出发，结合生活中的实例逐步引导学生构建现实问题中平抛运动的物理模型，培养学生独立解决实际问题的能力.

1 平抛运动的基本规律

如图1是一质点从O点以水平速度v0做平抛运动，经时间t到P点.

则在P点速度：

v=v2x+v2y=v20+（gt）2

速度方向与水平方向的夹角：

tanθ=gtv0

在P点的位移：

s=x2+y2=（v0t）2+（12gt2）2

位移方向与水平方向夹角：tanα=gt2v0.

注意到tanθ=2tanα，即平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与水平方向夹角正切值的2倍.

2 平抛运动基本规律的应用

例1 将一个小球从某高处以v0=2m/s的初速度水平抛出，到落地时运动的水平距离为x=16m，不计空气阻力，g=10m/s2.求：

（1）小球在空中运动的时间t;

（2）小球抛出点的高度h;

（3）落地时小球速度与水平方向的夹角.

解 （1）小球在水平方向上做匀速直线运动，t=xv0，解得小球在空中运动的时间t=0.8s.

（2）小球在竖直方向上做自由落体运动，h=12gt2，解得小球抛出点的高度 h=3.2m.

（3）落地时小球速度与水平方向夹角tanθ=gtv0，解得tanθ=4.

这道题目是比较简单的平抛运动规律的基本应用题.以此题作为原型，进行一系列变式，可以提高学生们分析解决问题的能力.

首先，将已知条件和问题互换，可得到如下例题.

例2 在距地面某一高处，将一物体水平抛出，物体飞出的速度为v0=2m/s，如果物体落地时速度与水平方向成tanθ=4，则水平位移是多少？（g取10m/s2）

解 如图2所示，设经t时间落地，落地时竖直分速度为vy， 则

vy=v0tanθ=8m/s

根据平抛运动的物体在竖直方向上做自由落体运动，有：

t=vyg=0.8s

则水平位移为：

x= v0t=1.6m

下面，将物体做平抛运动的起始点与落地点相连接，就转化为第一种平抛运动与斜面模型问题：从斜面上水平抛出的物体落在斜面上.

例3.1如图3所示，一名滑雪运动员经过一段加速滑行后从A点以初速度v0水平飞出，落在斜坡上的B点.已知A点是斜坡的起点，斜坡与水平面的倾角为θ，设空气阻力不计.求：

（1）运动员从A点运动到B点所需要的时间;

（2）从运动员自A点飞出开始始计时，经过多长时间运动员离斜坡的距离达到最大？

解 （1）设AB之间的距离为L，运动员从A点飞出后做平抛运动，根据平抛运动的规律，有：

在水平方向：Lcosθ=v0t

在竖直方向：Lsinθ=12gt2

联立以上两方程式，解得：t=2v0gtanθ

（2）当速度方向与斜坡平行时，运动员与斜坡距离最远，此时tanθ=vyv0=gtv0

因而t=v0gtanθ

除了上面类似的题目以外，我们还会碰到这样的题目：

例3.2 一水平抛出的小球落到一倾角为θ的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图4中虚线所示.小球在竖直方向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为.

这是平抛运动与斜面模型中另外一种情形：物体从空中水平抛出落到斜面上.具体求解如下.

解 小球在竖直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比即为平抛运动合位移与水平方向夹角的正切值.小球落在斜面上速度方向与斜面垂直，故速度方向与水平方向夹角为π2-θ，由平抛运动结论：平抛运动速度方向与水平方向夹角正切值为位移方向与水平方向夹角正切值的2倍，可知：小球在豎直方向下落的距离与水平方向通过的距离之比为12tan（π2-θ）=12tanθ.

从以上这两个例题可以看出处理此类平抛运动与斜面模型问题的方法是：充分利用好已有的斜面倾角条件，找出题中位移和速度信息与倾角的关系，利用分解或合成位移以及分解或合成速度进行求解.具体说来，物体在斜面上平抛并落在斜面上的问题，一般要从位移角度找关系，而物体平抛后垂直落在斜面上的问题，一般要从速度方向角度找关系.

对于这类问题，还有以下变式：

例3.3 在教学楼梯口，有如图5所示的0、1、2、3…K级台阶，每级台阶的长为30cm，高为15cm（g=10m/s2）.某同学从第0级台阶的边缘以v0=5m/s水平抛出一小球（不计一切阻力），则小球将落在第几级台阶上？

解 如图做一条连接各端点的直线，通过构造斜面，此问题就转变为平抛运动与斜面模型问题.只要球越过该直线，則小球落到台阶上.

设小球落到斜线上的时间t，根据平抛运动的规律，有：

在水平方向：x=v0t

在竖直方向：y=12gt2

且xy=3015=2

解以上方程，可得t=0.5s

相应的水平距离：x=v0t =2.5m

台阶数：n=2503>8，所以小球抛出后首先落到的台阶为第9级台阶.

最后，对平抛运动的规律进行拓展，为以后电磁学相关内容的学习做基础.

例4 如图6所示，将一小球从原点沿水平方向的x轴抛出，经一段时间到达P点，其坐标为（x0，y0），作小球运动轨迹在P点切线并反向延长，与ox轴相交于Q点，则Q点的x坐标为：.

解 ∠xQP为P点速度的偏向角，设∠xQP=θ，设∠xOp=α，Q点的横坐标为x，小球的初速度为v0，根据平抛运动的规律，tanθ=2tanα，即：y0x0-x=2·y0x0，解得Q点的x坐标为x02.

从此例题中也可得到一则有用的结论：在（类）平抛运动中，任意点速度方向的反向延长线平分水平（x方向）分位移.利用此结论，不难得到：真空中由平行金属板构成的匀强电场中有一电量为+q，质量为m的粒子，其速度v0与场强方向垂直并沿板间中心线方向射入平行金属板，当粒子在离开电场时，似从金属板间的中心线中点处沿直线飞出.

通过以上例题，可以看出这类问题大都是建构在平抛运动规律的基础上的变式和迁移应用.因此在教学中，教师应注重对学生进行变式拓展训练，从一道习题出发，变换不同的条件，使原来的一道题变成一组变式题，通过研究这组变式题，可以促进学生形成完整的知识结构，这不仅有利于培养学生的问题意识和创新意识，而且可以提高学生的学习能力和综合素质，发展学生的核心素养.

参考文献：

[1]中华人民共和国教育部. 普通高中物理课程标准 [M]. 北京：人民教育出版社，2017.

[2]傅竹伟. 在高中物理教学中促进学生深度学习的策略探究 [J]. 物理教师， 2014， 35（04）： 6-7+15.

（收稿日期：2019-12-30）