渗透数学思想 凸显核心素养

刘玉文

摘 要：数学思想是数学核心素养的核心部分，数学思想贯穿在数学核心素养中在2019年高考三角函数试题中，渗透着诸多数学思想，凸显对核心素养的考查，值得我们重视和探究.

关键词：高考;三角函数;数学思想;核心素养

数学思想是分析、处理和解決数学问题的根本想法，是对数学规律的理性认识数学核心素养是数学课程目标的集中体现，它是在数学学习的过程中逐步形成的，是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展所需要的知识、能力和思维品质数学思想不仅是数学核心素养的核心部分，也贯穿在数学核心素养中许多三角函数问题，若能灵活运用相应的数学思想，往往能快速、准确地找到解题思路，从而得到便捷的解法本文以2019年高考三角函数试题为例，说明数学思想在三角函数中的运用以及其数学核心素养的凸显，以达到抛砖引玉之功效.

1 数形结合思想

数形结合可以使抽象的、复杂的数量关系，通过几何图形直观地表现出来在学习三角函数的过程中，应把三角函数的性质融于函数的图形之中，充分利用三角函数的图象来解决问题.

例1 （2019年全国Ⅱ卷理科第9题）下列函数中，以π2为周期且在区间（π4，π2）单调递增的是（ ）.

A f（x）=cos2x Bf（x）=sin2x

C f（x）=cosx D f（x）=sinx

解析 作出f（x）=sinx的图象如图1，知其不是周期函数，排除D;

因为f（x）=cosx=cosx，周期为2π，排除C;

作出f（x）=cos2x图象如图2，由图象知，其周期为π2，在区间（π4，π2）单调递增，A正确;

作出f（x）=sin2x的图象如图3，由图象知，其周期为π2，在区间（π4，π2）单调递减，排除B，故选A.

评注 数形结合可以将抽象的代数问题转化成直观的几何问题求解，使抽象思维和形象思维有机结合.本题通过作出函数f（x）=sin|x|，f（x）=|cos2x|以及f（x）=|sin2x|的图象，再结合图象直观分析函数的周期以及函数在区间（π4，π2）的单调性，即可作出选择.本题渗透了数形结合的思想方法，凸显了对直观想象、逻辑推理等数学素养的考查.

2 化归与转化思想

化归与转化思想是指研究解决数学问题时，采用某种手段将问题通过变换使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略在实践中一般有以下几种方法：（1）未知化为已知;（2）特殊化为一般;（3）一般化为特殊;（4）等价转化.

例2 （2019年浙江卷第16题）设函数f（x）=sinx，x∈R.

（1）已知θ∈0，2π，函数f（x+θ）是偶函数，求θ的值;

（2）求函数y=f（x+π12）2+f（x+π4）2的值域.

解析 （1）因为f（x+θ）=sin（x+θ）是偶函数，

所以对任意实数x都有sin（x+θ）=sin（-x+θ）.

即 sinxcosθ+cosxsinθ=-sinxcosθ+cosxsinθ.

故2sinxcosθ=0.所以cosθ=0.

又θ∈0，2π，因此θ=π2或3π2.

（2）y=f（x+π12）2+f（x+π4）2

=sin2（x+π12）+sin2（x+π4）

=1-cos（2x+π6）2+1-cos（2x+π2）2

=1-12（ 32cos2x-32sin2x）

=1- 32cos（2x+π3）.

因此，函数的值域是1- 32，1+ 32.

评注 本题第（1）问的解答关键是以函数f（x+θ）是偶函数为切入点，然后等式两边分别进行等价转化;本题第（2）问的解答关键是半角公式的逆用、辅助角公式的巧用、三角函数有界性的活用而得解，在对问题的解答过程中，显示出强大的转化与化归功能，有梯度，立意深刻，充分凸显了对逻辑推理、数学运算、直观想象等数学素养的考查.

3 函数与方程思想

高考数学试题既有考查函数与方程思想的基本概念与基本性质的客观型试题，又有从深层次上对函数与方程思想进行综合考查的主观型试题应用函数与方程思想解题，要学会用变量来思考问题，学会沟通已知与未知之间的关系.

例3 （2019年全国Ⅰ卷文第15题）函数f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx的最小值为.

解析 f（x）=sin（2x+3π2）-3cosx

=-cos2x-3cosx

=-2cos2x-3cosx+1

=-2（cosx+34）2+178.

因为-1≤cosx≤1，所以当cosx=1时，f（x）min=-4.

故函数f（x）的最小值为-4.

评注 本题首先应用诱导公式，通过转化得到二倍角的余弦，再进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cosx的二次函数，从而得解在解题过程中体现了函数思想的运用，凸显了对逻辑推理、数学运算的考查.

例4 （2019年北京卷理）在△ABC中， a=3，b-c=2，cosB=-12.

（1）求b，c的值;

（2）求sin（B-C）的值.

解析 （1）由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，得 b2=32+c2-2×3×c×（-12）.

因为b=c+2，

所以 （c+2）2=32+c2-2×3×c×（-12）.

解得c=5所以b=7.

（2）由cosB=-12得sinB= 32.

由正弦定理得sinC=cbsinB=5 314.

在△ABC中，∠B是钝角，所以∠C为锐角.

所以cosC=1-sin2C=1114.

所以sin（B-C）=sinBcosC-cosBsinC=4 37.

评注 解答本题第（1）问的关键是以cosB=-12为切入点，利用b=c+2建立关于c的方程得解;本题第（2）问考查正弦定理、两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

4 分类讨论思想

分类讨论的原则是分类的标准要统一分类要做到不重复、不遗漏，能不分类的尽量不分类，绝不无原则地分类分类的步骤有四步：（1）明确讨论的对象;（2）确定分类标准;（3）逐步进行讨论;（4）归纳小结总结出结论.

例5 （2019年江苏卷第13题）已知tanαtan（α+π4）=-23，则sin（2α+π4）的值是.

解析 由tanαtan（α+π4）=tanαtanα+11-tanα=tanα（1-tanα）tanα+1=-23，得3tan2α-5tanα-2=0.

解得tanα=2或tanα=-13.

sin（2α+π4）=sin2αcosπ4+cos2αsinπ4

= 22（sin2α+cos2α）

= 22（2sinαcosα+cos2α-sin2αsin2α+cos2α）

= 22（2tanα+1-tan2αtan2α+1）.

当tanα=2时，上式= 22×2×2+1-2222+1= 210;

当tanα=-13时，

上式= 22×2×（-13）+1-（-13）2（-13）2+1= 210.

综上，sin（2α+π4）= 210.

評注 本题利用分类讨论和转化与化归思想解题由题意首先求得tanα的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可该过程体现了三角化简求值的灵活性和综合性，达到了训练、理解、思维品质的梯度上升的目的，凸显了对数学抽象、逻辑推理和数学运算素养的考查.

5 整体思想

整体思想在三角函数中主要体现在利用整体代入、整体变形、整体换元、整体配对、整体构造等进行化简求值或研究函数性质等.

例6 （2019年全国Ⅲ卷理科第18题）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 asinA+C2=bsinA.

（1）求B;

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围.

解析 （1）由题设及正弦定理得 sinAsinA+C2=sinBsinA.

因为sinA≠0，所以sinA+C2=sinB.

由A+B+C=180°，可得sinA+C2=cosB2 .

故cosB2=2sinB2cosB2.

因为cosB2≠0，故sinB2=12.

由0°

（2）由题设及（1）知△ABC的面积S△ABC= 34a.

由正弦定理得a=csinC·sinA=sin（120°-C）sinC= 32tanC+12.

由于△ABC为锐角三角形，故0°

所以30° 33.

故12

因此，△ABC面积的取值范围是（ 38， 32）.

评注 本题第（1）问把sinA+C2作为整体进行代换，第（2）问把 32tanC+12作为整体，利用△ABC是锐角三角形这个条件，确定a的范围，进而确定出△ABC面积的取值范围.这道高考题浓缩了三角函数、正弦定理的精华知识和方法，考查得很全面，是一道很好的考题不同思维水平的学生处理起来进入角色的起点不同，到达终点的路径体现了本题较好的区分度.在给考生创设自由的空间去“实现自我价值”的同时，也给高中数学教学引领了方向：“放弃大量机械的训练，注重数学思想方法的提炼，提升学生思维水平”，这就是“数学的核心素养”！

总之，三角函数中的数学思想较多，但它们的核心是化归与转化思想，只要大家认真思考，灵活运用，在运用中感悟数学思想，积累思维经验，数学思想一定能给你的学习带来事半功倍的效果，只有这样，才能有效形成和发展数学核心素养.

（收稿日期：2019-10-10）