类比联想法在高中数学解题中的应用研究

姜丙黄

摘 要：本文以高考数学题为主要内容，首先简要介绍类比联想法在解题中的主要含义，然后通过理论与实例相结合的方式，从直观层次、变形层次和构造层次三个方面对类比联想法加以应用，以期提高学生数学解题能力和思维能力的发展.

关键词：高考数学; 类比联想; 数学解题

人类智力发展包括感知、思维等多种能力，而思维能力是智力发展的核心.类比联想法数学解题策略有助于学生思维能力的发展，应用类比联想法要求学生具备丰富的想象力、一定的知识储备量和良好联想解题策略.因此对于很多高中学生来说，应用类比联想法解题相对比较困难，但类比联想法的解题效果却胜似常规解法.实践表明，类比联想法解题策略可以促进学生知识的联想和迁移，把握知识之间的联系，形成知识网络.研究类比联想在数学解题中的应用，不仅有利于学生对知识体系的建构，而且有利于提高学生高考数学解题的能力和思维能力的发展.

1 类比联想法的含义

波利亚解题思想注重联想.他说，在解题活动中我们要设法“预测到解，或解的某些特征，或某一条通向它的小路”“回忆某些有用的东西，把有关的知识动员起来”.而这种预测和回忆就离不开联想，如果在思考问题时通过联想产生某种预见，我们把它称为有启发性的想法或灵感.波利亚称想出一个“好念头”是一种灵感的活动，也是一种联想思维过程.有的数学问题可能具有某种特征，如形式、概念、位置和图象上有着某种特点，抓住这些特征联想、类比，发现解题方法，或联想到其他知识，转为用其他方法处理.这一解题策略要求思维的发散及丰富的想象力，当然，解题必须掌握各类知识并能融会贯通[1].

2 类比联想法在高中数学解题中的应用

对于高考数学题，能够在有限的时间内想出好的解题策略对于考生来说至关重要.考生如果能在短时间内能根据不同题目的已知条件和结果之间的关系确定解题思路，就能实现对题目的快速、准确解答，而类比联想法在数学解题方面往往可以使人快速联想、准确解答，达到事半功倍的效果.

本文根据题型的复杂程度将类比联想法划分为：直观联想、变形联想、构造联想三个层次，方便学生在数学解题实践中，灵活运用相应的类比联想法.下面以高中数学真题为例，具体阐述三个层次的联想在数学解题中的应用.

2.1 直观联想

直观联想是通过对题型初步观察，联想到相似数学知识的一种策略，直观联想法强调直观感知，是类比联想法的最低层次，对学生的想象能力和抽象思维能力要求最低，这一层次的类比联想易于学生理解和运用，根据这类层次题型所具有的位置关系、概念性质的不同，直观联想可进一步划分为结构联想、概念联想.

2.1.1 结构联想

例1 函数y=4-sinx3-cosx的最大值为.

观察函数y=4-sinx3-cosx的外形结构，可以联想到斜率的表达式k=y2-y1x2-x1.

基本性质是定点P（3，4）与动点（cosx，sinx）连线的斜率，而动点（cosx，sinx）的轨迹是一个单位圆.

设过P（3，4）的直线方程为y-4=k（x-3），即kx-y+4-3k=0，如图1所示，当斜率得最大值时，该直线是单位圆的一条切线，故原点到直线的距离为l，则|4-3k|=1+k2，解得k=6±64.

因此函数y=4-sinx3-cosx的最大值为6+64.

评注 在解题时，通过题型的位置关系联想到斜率表达式，从而将函数的最大值问题转化为斜率的最大值问题，进而实现解题.

2.1.2 概念联想[3]

例2 （2013年高考重庆卷）若关于实数x的不等式|x-5|+|x+3|

解 已知不等式可化为

（x-5）2+y2+（x+3）2+y2

由椭圆定义知，平面内动点P（x，0）到两定点（5，0），（-3，0）的距离和小于两定点距离时轨迹不存在.

所以a≤8.

评注 绝对值是一个数在数轴上到原点的距离，绝对值本质上反映的是距离，由绝对值一维空间上两个数之间的距离，联想到二维空间上平面直角坐标系两点之间的距离坐标公式，进而联想到椭圆存在的定义，反过来椭圆不存在即原不等式无解.

例3 （2008年高考全国卷）直线xa+yb=1通过M（cosx，sinx），则（ ）.

A.a2+b2≤1   B.a2+b2≥1

C.1a2+1b2≤1D.1a2+1b2≥1

解法1 因为点M（cosx，sinx）在圆x2+y2=1上，所以直线与圆相交或相切，故圆心到直线的距离d=-11a2+1b2≤1，所以1a2+1b2≥1.故选D.

解法2 由题意知cosxa+sinxb=1.

根据柯西不等式得（cos2x+sin2x）（cosxa+sinxb）2=1.

即1a2+1b2≥1.故选D

解法3 令m→=（cosx，sinx），n→=（1a，1b）.

则m→·n→=cosxa+sinxb=1.

因为m→·n→≤m→·n→，

所以1≤cos2x+sin2x·1a2+1b2.

即1a2+1b2≥1.故选D

评注 解法1是结构联想法的体现，由点M坐标的参数表示从而联想到单位圆上任意一點都可以这样表示，直线经过圆上某一点意味着直线与圆的位置关系为相交或相切;

解法2是结构关系联想的体现，把M（sinx，cosx）代入直线方程中得到cosxa+sinxb=1，再结合选项不难联想到柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2;

解法3是概念联想的体现，只是从向量的角度去联想.通过把M（cosx，sinx）代入直线方程中得到sinxa+cosxb=1， 进而联想向量的数量积概念得到m→·n→=1，其中m→=（cosx，sinx），n→=（1a，1b）.

2.2 变形联想

变形联想是通过对题目的条件变形或转换，从而联想到熟悉的数学知识的一种策略.变形联想是感知联想的高一层次，对学生的能力要求也相对更高.

例4 α，β为锐角，且sin（α+β）=2sinα.

证明α<β.

证明 由sin（α+β）=2sinα，

变形得1sinα=2sin（α+β）.

从而联想到正弦定理asinα=bsinβ=csinγ=2R.

如图2所示，令∠α=∠B，∠β=∠C，则∠A=sin[π-（α+β）]=sin（α+β）.由题意可知∠α所对的边长为a，∠（α+β）所对的边长为2a.设∠β所对的边为x，根据三角形两边之和大于第三边的性质可知，x+a>2a，解得x>a.再由三角形大边对大角，小边对小角的性质可知α<β.

评注 例4的证明体现了变形再联想的解题策略，通过将已知条件sin（α+β）=2sinα转化成分母为正弦的三角函数1sinα=2sin（α+β），此时便于联想到正弦定理，再结合三角形的性质可证明此问题.

2.3 构造联想

构造联想是通过构造一个与已知条件相符合的数学情境，然后再从情景中联想相关的数学知识的一种解题策略.构造联想并非凭空构造，而是结合题型当中的关键信息构造与之特征相符合的图形，最后转换到更低层次的变形联想或者直观联想来解题.因此构造联想是最高层次的类比联想，对学生的能力要求最高.

例5 （2010年高考浙江卷）已知平面向量α→，β→（α→≠0，α→≠β→）满足β→=1，且α→与β→-α→的夹角为120°，则α→的取值范围是.

解法1 如图3所示，构造符合条件的ΔOAB，则由正弦定理可得，

α→=OA=1sin60°sinB=2 33sinB，其中B∈（0，2π3），故a→∈（0，2 33].

解法2 同解法1构造符合条件的ΔOAB，设OA=α→=x，AB=β→-α→=t，则由余弦定理可得cos60°=x2+t2-122xt.

即t2-xt+x2-1=0（x>0，t>0）.

把方程看作t的一元一次方程，则方程有正实数解.因对称轴为t=x2>0，故只需Δ=x2-4（x2-1）≥0即可，解得x∈（0，2 33].

评注 解法1和解法2都体现出构造联想法的解题策略，解题的关键在于构造了符合已知条件的三角形，解法1由∠OAB=60°及β→=1联想到正弦定理求解.

解法2在此基础上通过联想余弦定理构造一元二次方程，从而使问题得到解决.

3 结束语

综上所述，本文从直观联想（结构联想、概念联想）、变形联想、构造联想三个层次阐述了类比联想法在高中数学解题中的具体应用.通过这三个层次联想期望让学生能由浅入深、由易到难把握类比联想法的解题中的奥秘，进而有意识地应用类比联想法来解高中数学问题，提升自身的数学解题能力.

参考文献：

[1]曾建国.数学解题策略选讲[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2011.

[2]蔡小雄.更高更妙的高中數学[M].杭州：浙江师范大学出版社，2016.

[3]刘沛松.联想方法在高中数学解题思路的分析[J].文理导航，2017（09）：50.