解析几何问题中的对称元分析法

李子阳

所谓对称元分析法，是指在研究问题的过程中，要对称地看待P1（x1，y1），P2（x2，y2），不要孤立地看待和分析x1，x2，y1，y2等参数，要始终把x1+x2，y1+y2，x1x2，y1y2分别看成一个整体、一个变量（并称它们为对称元），并以这些对称元为线索和主元进行思考、分析和运算的方法.利用此法对解决解析几何中类型繁多、参数众多的“弦问题”非常有效，从而达到减少思维的盲目性，简化运算过程，将杂乱的运算变得有序的目的.

一、有关参数值的问题

例1 已知抛物线C：y=2x2 ，直线y=kx+2交C于A，B两点，M是线段AB的中点，过M作x轴的垂线交C于点N.

（1）证明：抛物线C在点N处的切线与AB平行.

（2）是否存在实数k使NA·NB=0？若存在，求出k的值;若不存在，请说明理由.

分析 解答本题时若不引入参数，我们将难以进行深入的思考.由A、B关于点M对称，由对称元分析法，我们可以将注意力集中在x1+x2，y1+y2上，然后将M、N的坐标用含k的式子表示.

解 （1）设A（x2，2x21），B（x2，2x22），将y=kx+2代入y=2x2，得2x2-kx-2=0.由韦达定理得x1+x2=k2，x1x2=-1.

所以xN=xM=x1+x22=k4.所以N点的坐标为（k4，k28）.

因为y=2x2，所以y′=4x.

所以抛物线在点N处的切线的斜率为4×k4=k.

所以抛物线C在点N处的切线与AB平行.

（2）假设存在实数k，使NA·NB=0.

由（1）可知NA=（x1-k4，2x21-k28），NB

=（x2-k4，2x22-k8），则

NA·NB

=（x1-k4）（x2-k4）+（2x21-k28）（2x22-k28）

=（x1-k4）（x2-k4）+4（x22-k216）（x22-k216）

=（x1-k4）（x2-k4）[1+4（x1+k4）（x2+k4）]

=[x1x2-k4（x1+x2）+k216][1+4x1x2+k（x2+x2）+k24]

=（-1-k4×k2+k216）[1+4×（-1）+k×k2+k24]

=（-1-k216）（-3+34k2）=0.

因为-1-k216<0，所以-3+34k2=0.

解得k=±2.

故存在k=±2，使NA·NB=0.

小结 孤立地认识参数，思路就难以展开.熟悉对称元分析法，同时联想韦达定理，显得自然合理.

二、求参数的取值范围

例2 已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1（-3，0），一条渐近线的方程是5x-2y=0.

（1）求双曲线C的方程;

（2）若以k（k≠0）为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M，N，且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为812，求k的取值范围.

分析 解答本题可以引入参数m，将直线l的方程表示出来，由方程的思想建立k与m的不等关系，再利用对称元分析法表示出MN的中点坐标，表示出MN的垂直平分线方程，通过面积条件找出k与m的等量关系，最后得到关于k的不等式，从而求出k的取值范围.

解 （1）设双曲线C的方程为x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）.由题设得

a2+b2=9，

ba=52.解得a2=4，

b2=5.所以双曲线C的方程为x24-y25=1.

（2）设直线l的方程为y=kx+m（k≠0），点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组y=kx+m，

x24-y25=1. ①

②

将①式代入②式，得

x24-（kx+m）25=1.整理得（5-4k2）x2-8kmx-4m2-20=0.此方程有两个不等的实根，于是有5-4k2≠0，且Δ=（-8km）2+4（5-4k2）（4m2+20）>0.整理得m2+5-4k2>0. ③

由根与系数的关系，可知线段MN的中点坐标（x0，y0）满足x0=x1+x22=4km5-4k2，y0=kx0+m=5m5-4k2.从而线段MN的垂直平分线的方程为y-5m5-4k2=-1k（x-4km5-4k2）.此直线与x轴，y轴的交点坐标分别为（9km5-4k2，0），（0，9m5-4k2）.

由题设可得12|9km5-4k2|·|9m5-4k2|=812.整理得m2=（5-4k2）2|k|，k≠0.

将上式代入③式，得（5-4k2）2|k|+5-4k2>0.整理得（4k2-5）（4k2-|k|-5）>0，k≠0.解得0<|k|<52或|k|>54.

所以k的取值范围是（-∞，-54）∪（-52，0）∪（0，52）∪（54，+∞）.

小结 对称元分析法，能将让人眼花缭乱、不知所措的众多参数集中起来，能将类型繁多、问题之间似乎也不存在什么联系的元素发生关系，从而起到很好的纽带作用.

对称元分析法的运用，之所以说对学生的各项能力是一个极大的挑战，还在于这样的问题本身具有较强的综合性.这就使得教学势必要从学科的整体高度和思维价值的高度出发，在跨章节的思考，思维障碍的突破上投入时间和精力.