用平面向量解决三角形四心问题

郭晓辉

向量本身是一个几何概念，具有代数形式和几何形式两种表示方法，易于数形结合，而且向量问题在进行数形结合时具有新形式、新特点，因此可称为高中数学的一个交汇点.三角形的“四心”（外心、内心、重心、垂心）是与三角形有关的一些特殊点，各自有一些特殊的性质.在高考中，往往将“向量作为载体”对三角形的“四心”进行考查.这就需要我们在熟悉向量的代数运算的基础上读懂向量的几何意义.下面举例说明.

一、用向量方法求解重心问题

重心：三角形“重心”是三角形三条中线的交点，所以“重心”必在中线上.

例1 已知O是平面内一 定点，A，B，C是平面内不共线的三个点，动点P 满足：OP=OA+λ（AB+AC），则P的轨迹一定通过△ABC的 （ ）.

A. 外心 B. 内心 C. 重心 D. 垂心

解析 如图1，以AB，AC为邻边构造平行四边形ABDC，E为对角线的交点，根据向量平行四边形法则AB+AC=AD，因为AD=2AE，所以，上式可化为AP=λAE，所以点E在直线AP上.因为AE为△ABC的中线，所以选C.

二、用向量方法求解垂心问题

垂心：三角形“垂心”是三角形三条高的交点，所以“垂心”必在高线上.

例2 （2005年北京市东城区高三模拟题）O为△ABC所在平面内一点，如果OA·OB=OB·OC=OC·OA，则O必为△ABC的（ ）.

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析 事实上OA·OB=OB·OC（OA-OC）·OB=0CA·OB=0OB⊥CA. 故选答案D.

例3 已知O为三角形ABC所在平面内一点，且满足

|OA|2+|BC|2=|OB|2+|CA|2=|OC|2+|AB|2，则点O是三角形ABC的（ ）.

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

解析 事实上由条件可推出OA·OB=OB·OC=OC·OA， 故选答案D.

三、用向量方法求解内心问题

内心：三角形“内心”是三角形三条内角平分线的交点，所以“内心”必在内角平分线上.

例4 （2003年全国高考题）O是平面内一定点，A、B、C是平面内不共线的三点，动点P满足OP=OA+λ（AB|AB|+AC|AC|），λ∈（0，+∞），则动点P的轨迹一定通过△ABC的（ ）.

A.外心 B.内心

C.重心 D.垂心

解析 事实上如图设AE=AB|AB|，AF=AC|AC|，都是单位向量，易知四边形AETF是菱形故选答案B.

四、用向量方法求解外心问题

外心：三角形“外心”是三角形三条边的垂直平分线的交点，所以“外心”必在垂直平分线上.

例5 已知O是△ABC内的一点，若OA2=OB2=OC2，则O是△ABC的（ ）.

A.重心 B.垂心 C.外心 D.内心

解析 OA2=|OA|2，OB2=|OB|2，

OC2=|OC|2，所以|OA|=|OB|=|OC|.由向量模的定义知O到△ABC的三顶点距离相等，故O是△ABC的外心.故选C.

点评 求解向量问题时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的向量或首尾相连的向量，运用向量的加减法运算、数乘运算、数量积来求解.

五、总结

从以上例题中可以看出，用向量解决四心问题，无论题目怎样变化都在围绕着三角形四心的定义来出题，它们都在无规律中出现规律，如出现AB|AB|+AC|AC|就要往内心上考虑，出现|OA|=|OC|等模相等时要考虑外心，出现OA·OB=OB·OC=OC·OA时要考虑垂心，△ABC中AB+AC一定过BC的中点，通过△ABC的重心等.所以只要对于这方面的知识准备充分，就能应付自如.