例谈几何概型中“区间长度”的定位

何军海

一、问题出在哪里？

这是一节关于几何概型（人教社高中数学必修3）的习题课，在回顾了几何概型的概念和几何概型中事件A的概率的计算公式之后，作为课堂探究与研讨，我在黑板上写下这样一道题：

（2011·湖南高考改编）已知圆C：x2+y2=12，直线l：4x+3y=25.

（1）求圆C的圆心到直线l的距离;

（2）求圆C上任意一点A到直线l的距离不大于2的概率.

六个小组经过积极研讨后，有一个小组未能得出完整结果，其余五个提交了各自的解答.其中有两个小组的解答如下：首先直接用点到直线的距离公式，计算出圆心C到直线l的距离为5，而圆的半径为2 ，因此圆C上任意一点A到直线l的距离d∈[5-23，5+23]，而题目要求点A到直线l的距离不大于2，即满足条件的d ∈[5-23，2]，因此：P（A）=2-5+235+23-5+23=23-343.

另外三个小组的解答如下：第一步与前面两个小组

一样，容易求得圆心C到直线l的距离为5，然后作一条平行于直线l，并且圆心到其距离为3的直线，与圆

C相交，将圆分成优弧与劣弧两部分.由半径为23，圆心到直线l的距离为3可知劣弧所对圆心角为π3，从而所求的概率为：P（A）=π32π=16.（如图）

出现这样的结果，作为老师，预先还真没有想到，备课时，只是考虑如何将正确的解答给学生讲清楚，没想到“半路会杀出程咬金”，第一种结果的出现，必须要求老师快速做出反应：问题出在哪了？而作为学生，同一问题，出现两种不同的解答，并且结果也大相径庭，按照常规的数理逻辑，至少有一个是错的，那自然会积极思考：问题出在哪了？

二、真相浮出水面

理不辨不明.新课程教学提倡学生自主探究，两种不同的结果出现，正是学生思维火花碰撞的时刻，所谓机不可失，老师一定不能急于作出评价，而是要激发他们思辨的热情，真正做到“让学生去想”.他们讨论也好，争论也好，只要能找到问题的症结，那便是极好的！在一番理论之后，第一种解法的一位同学代表发言了：老师，我们的解法是错误的，主要是对于几何概型公式中“区间长度”的定位不准确，换句话说，就是没有找准这个问题中以谁作为测度的对象.我一看时机已到，就顺势请刚才做出正确答案的一位同学说说他的想法，这位同学说：我们认为，这道题研究的是“圆C上任意一点A到直线l的距离不大于2的概率”，那我们就得形象地思考这样一个问题：圆周上共有多少个点？，而到直线l的距离不大于2的点又有多少个？很显然几何概型中不能用“多少个点”来描述，因为点是稠密的，那就要关注“到直线l的距离不大于2的点”在整个圆周上的分布，很自然弧长或者弧所对的圆心角便是最好的测度.而第一种解法则是将几何形态盲目代数化，就区间论区间，拿距离谈距离，所谓A到直线l的距离d∈[5-2π3，5+2π3]，而满足条件的d∈[5-2π3，2]，实际上就是没有搞清楚我们在研究“谁”的概率，是“距离”还是“距离限制之下的圆周上的点”.这位同学的分析，相当于揭开了问题的真相， 实际上就是对几何概型中研究的对象产生了错位，这道题中，“距离”是对圆周上的点的描述，而研究的对象则是符合距离要求的“点”，套用当下一句时髦的话：我的概率我做主.

三、还需举一反三

通过对问题的分析和研讨，同学们认识到，产生以上错误的主要原因，实际上是几何概型中“区间长度”的定位出现了偏差，而这种偏差在处理几何概型问题中，恰好是一个易错点，仅有明白是不够的.教学中要举一反三，通过一些典型例题的训练，提高学生判断研究“谁”概率的能力，准确定位几何概型计算概率时的“区间长度”.例如下面两道例题：

例1 如图，在等腰直角三角形ABC中，在斜边AB上取一点M，求AM

例2 如图，在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与斜边AB交于点M.求AM

我们看到，这两个问题不仅有着相同的入口，即“在等腰直角三角形ABC中，斜边AB上有一点M”，而且有着相同的出口，即“求AM

在例1中，直接是“在斜边AB上取一点M”，那就意味着几何概型中基本事件的“区间长度”就是线段AB的长度，只需找到满足条件AM

解 在斜边AB上取一点D，使得AC=AD，（图略）

设AC=1，则AB=2，而AD=1，当点M在线段AD上时，AM

那么使得AM

在例2中，“过直角顶点C在∠ACB内部作一条射线CM，与斜边AB交于点M”主要表达的是射线CM在∠ACB内部旋转，而“点M”则是旋转过程中的“附属产品”，那就意味着几何概型中基本事件的“区间长度”是∠ACB的大小，只需找到满足条件AM

解 过C点作一条射线交AB于D，使得AC=AD.（图略）

在等腰三角形ACD中，由于A=45°，所以∠ACD=（180-452）°=67.5°.当射线CM在∠ACD内旋转时，AM

那么使得AM

罗增儒教授在他的《数学解题学引论》中说：“分析典型例题的解题过程是学会解题的有效途径，至少在没有找到更好的途径之前，这是一个无可替代的好主意.”通过上面典型例题的思辨，让学生感受到准确定位“区间长度”，是几何概型问题得以正确解决之关键，这就要求解题中正确把握问题的切入点，特别是搞清楚在当下的问题模型中，谁是真正的做主的.