在教学中培养学生的求异思维

董天武

我们在平时的教学中，常常会碰到这样的现象，学生利用新近所学内容解决问题比较顺手，而拿到一个用以前所学知识或与书本知识关联不太大的问题时便束手无策.究其原因是我们平时解题思路均与本科内容有关——要么所学知识是最近所学，要么所用方法是本节课的内容，再难的问题都会有明显的“暗示”，甚至还要加老师的提示，从而失去其思维的价值.甚至在授课时，老师在事先设计好的思路下，想方设法堵住学生“出轨”的想法.

在教学中如何让学生自己动起来，培养学生创新意识，发展求异思维呢？

一、 在发现中学习，培养学生的求异精神

平时的教学都是以传授知识为中心，力求把知识讲深、讲透.在处理教材时则采用结果教学的方法，忽视知识的发生、形成过程.长此以往，学生惯用上课时竖起两只耳朵，只作为知识的接受机器，失去了对知识真伪的判别，更重要的是失去了学生积极探究知识的原动力.应试能力强，应用知识解决问题的能力差是我国教育中普遍存在的问题.

发现性学习者认为，学生学习书本知识的过程不是对书本知识的直接接受、占有和重复，而是对学习的知识能动地选择、批判、加工和改造的过程.认识到这一点，我们在教学中应关注学生的主体地位，在处理教材时应以学生的主动探索为线索，力求让学生经历知识的发生、形成过程，让学生在开放的学习环境中，从多渠道获取知识，并能将所学知识加以综合应用.例如在讲向量概念时，传统做法是将向量的有关概念直接抛给学生，然后通过题组训练，使其对向量的有关概念加以记忆并能熟练运用.而我们若将向量的有关概念设置在问题情境中，让学生在解决问题中体会概念的形成，让学生在过程中体会知识的形成，并体会向量在实际中的应用，让学生在亲身体验中获取知识，变被动学习为主动探求.这样不仅激发了学生求知的原动力，同时也能兼顾到学生个体学习的差异性.达到了培养学生创新求异的目的.

二、 从多角度培养学生的发散、求异思维

问题是数学的核心，解题教学是我们数学教学的基石.我们对教材上典型例题除了引导学生分析其思维过程外，还应当引导学生探究一些新的解法.使学生从不同的侧面，不依常规寻求变异，从隐秘的教学关系中找到问题的实质，探究各种知识的相互联系，探讨多种方法解决问题，充分发挥例题的作用，训练学生的求异思维.同时也能引导学生把已学知识同化到原有的认知结构中去，使所学知识纵横联系，形成网络.

1.通过一题多解的教学，培养学生的求异思维

例1 且a，b∈R且a+b=1.求证（a+2）2+（b+2）2≥252.

通过课堂讨论和课后研讨，学生给出了比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、均值换元法、构造函数法、数形结合法多种方法.

一题多解不仅能复习较多的知识，激发学生的学习兴趣，而且能培养学生从多角度地分析问题，总结一般的解题方法，避免题海战，减轻学生负担，更能活跃学生的数学思维，充分挖掘问题的本质，使学生的发散、求异思维得到提高.

2.通过一题多变的教学 ，培养学生的发散、求异思维

例2 （选修2-3教材中，第13页例7）有6个人排成一排，

（1）甲和乙两人相邻的排法有多少种？

（2）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？

我们由该题还可以变出多种题目，如下面变式练习：

变式 有3名男生、4名女生排成一排，按下列要求有多少种不同的排法？

（1）7人站成一排；

（2）选其中5人排成一行

（3）甲只能在中间或两头；

（4）甲、乙二人必须在两头 ；

（5）甲不在排头，乙不在排尾；

（6）男生、女生各站一边；

（7）男生必须排在一起；

（8）男生、女生各不相邻；

（9）男生不能相邻；

（10）甲、乙中间必须有3人.

通过变条件，变结论，变图形，变题型等等，使学生在一题多变中学会思考，在复杂问题中，学会随机应变，从而使学生的发散、求异思维能力得到培养.

三、 在错解的剖析过程中培养学生的批判、求异思维

教育心理学指出：“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息”.通过设错——纠错——醒悟的教学过程，可进一步帮助学生理解和掌握知识，培养学生的求异精神.

例3 若f（cosx）=sin2x，求f（sinx）的表达式.

解法一： 因为sinx=cos（π2-x），

所以f（sinx）=f（cos（π2-x））=sin[2（π2-x）]=sin2x.

解法二：因为sinx=cos（3π2+x），

所以f（sinx）=f（cos（3π2+x））=sin（3π+2x）=-sin2x.

解法三：设cosx=t（-1≤t≤1），则sinx=±1-t2.

所以f（t）=±2t1-t2，所以f（sinx）=±sin2x.

分析 因为f（cosx）=sin2x=2sinxcosx=±2cosx1-cos2x ，

所以f（t）=±2t1-t2，

所以f（sinx）=±sin2x.

同一题目为什么会得出多种结果？实际上， 这样的函数不存在，本题是一错题.

四、在研究中学习，通过合作探究，培养求同存异的精神

研究性学习为学生提供了一个开放的空间，能让学生亲自体验知识的形成与产生过程，能体验到生动的数学，并能用数学去解决问题.其条件的不完备性和答案的不确定性给学生留下了极大的思维创造空间，可以培养学生思维的广阔性、灵活性和多样性.在小组讨论中每个学生带着各自的想法，在讨论中产生思维的碰撞，从而达到思想的共鸣.不仅培养了集体合作的精神，又能达到求同存异的目的.endprint

我们在平时的教学中，常常会碰到这样的现象，学生利用新近所学内容解决问题比较顺手，而拿到一个用以前所学知识或与书本知识关联不太大的问题时便束手无策.究其原因是我们平时解题思路均与本科内容有关——要么所学知识是最近所学，要么所用方法是本节课的内容，再难的问题都会有明显的“暗示”，甚至还要加老师的提示，从而失去其思维的价值.甚至在授课时，老师在事先设计好的思路下，想方设法堵住学生“出轨”的想法.

在教学中如何让学生自己动起来，培养学生创新意识，发展求异思维呢？

一、 在发现中学习，培养学生的求异精神

平时的教学都是以传授知识为中心，力求把知识讲深、讲透.在处理教材时则采用结果教学的方法，忽视知识的发生、形成过程.长此以往，学生惯用上课时竖起两只耳朵，只作为知识的接受机器，失去了对知识真伪的判别，更重要的是失去了学生积极探究知识的原动力.应试能力强，应用知识解决问题的能力差是我国教育中普遍存在的问题.

发现性学习者认为，学生学习书本知识的过程不是对书本知识的直接接受、占有和重复，而是对学习的知识能动地选择、批判、加工和改造的过程.认识到这一点，我们在教学中应关注学生的主体地位，在处理教材时应以学生的主动探索为线索，力求让学生经历知识的发生、形成过程，让学生在开放的学习环境中，从多渠道获取知识，并能将所学知识加以综合应用.例如在讲向量概念时，传统做法是将向量的有关概念直接抛给学生，然后通过题组训练，使其对向量的有关概念加以记忆并能熟练运用.而我们若将向量的有关概念设置在问题情境中，让学生在解决问题中体会概念的形成，让学生在过程中体会知识的形成，并体会向量在实际中的应用，让学生在亲身体验中获取知识，变被动学习为主动探求.这样不仅激发了学生求知的原动力，同时也能兼顾到学生个体学习的差异性.达到了培养学生创新求异的目的.

二、 从多角度培养学生的发散、求异思维

问题是数学的核心，解题教学是我们数学教学的基石.我们对教材上典型例题除了引导学生分析其思维过程外，还应当引导学生探究一些新的解法.使学生从不同的侧面，不依常规寻求变异，从隐秘的教学关系中找到问题的实质，探究各种知识的相互联系，探讨多种方法解决问题，充分发挥例题的作用，训练学生的求异思维.同时也能引导学生把已学知识同化到原有的认知结构中去，使所学知识纵横联系，形成网络.

1.通过一题多解的教学，培养学生的求异思维

例1 且a，b∈R且a+b=1.求证（a+2）2+（b+2）2≥252.

通过课堂讨论和课后研讨，学生给出了比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、均值换元法、构造函数法、数形结合法多种方法.

一题多解不仅能复习较多的知识，激发学生的学习兴趣，而且能培养学生从多角度地分析问题，总结一般的解题方法，避免题海战，减轻学生负担，更能活跃学生的数学思维，充分挖掘问题的本质，使学生的发散、求异思维得到提高.

2.通过一题多变的教学 ，培养学生的发散、求异思维

例2 （选修2-3教材中，第13页例7）有6个人排成一排，

（1）甲和乙两人相邻的排法有多少种？

（2）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？

我们由该题还可以变出多种题目，如下面变式练习：

变式 有3名男生、4名女生排成一排，按下列要求有多少种不同的排法？

（1）7人站成一排；

（2）选其中5人排成一行

（3）甲只能在中间或两头；

（4）甲、乙二人必须在两头 ；

（5）甲不在排头，乙不在排尾；

（6）男生、女生各站一边；

（7）男生必须排在一起；

（8）男生、女生各不相邻；

（9）男生不能相邻；

（10）甲、乙中间必须有3人.

通过变条件，变结论，变图形，变题型等等，使学生在一题多变中学会思考，在复杂问题中，学会随机应变，从而使学生的发散、求异思维能力得到培养.

三、 在错解的剖析过程中培养学生的批判、求异思维

教育心理学指出：“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息”.通过设错——纠错——醒悟的教学过程，可进一步帮助学生理解和掌握知识，培养学生的求异精神.

例3 若f（cosx）=sin2x，求f（sinx）的表达式.

解法一： 因为sinx=cos（π2-x），

所以f（sinx）=f（cos（π2-x））=sin[2（π2-x）]=sin2x.

解法二：因为sinx=cos（3π2+x），

所以f（sinx）=f（cos（3π2+x））=sin（3π+2x）=-sin2x.

解法三：设cosx=t（-1≤t≤1），则sinx=±1-t2.

所以f（t）=±2t1-t2，所以f（sinx）=±sin2x.

分析 因为f（cosx）=sin2x=2sinxcosx=±2cosx1-cos2x ，

所以f（t）=±2t1-t2，

所以f（sinx）=±sin2x.

同一题目为什么会得出多种结果？实际上， 这样的函数不存在，本题是一错题.

四、在研究中学习，通过合作探究，培养求同存异的精神

研究性学习为学生提供了一个开放的空间，能让学生亲自体验知识的形成与产生过程，能体验到生动的数学，并能用数学去解决问题.其条件的不完备性和答案的不确定性给学生留下了极大的思维创造空间，可以培养学生思维的广阔性、灵活性和多样性.在小组讨论中每个学生带着各自的想法，在讨论中产生思维的碰撞，从而达到思想的共鸣.不仅培养了集体合作的精神，又能达到求同存异的目的.endprint

我们在平时的教学中，常常会碰到这样的现象，学生利用新近所学内容解决问题比较顺手，而拿到一个用以前所学知识或与书本知识关联不太大的问题时便束手无策.究其原因是我们平时解题思路均与本科内容有关——要么所学知识是最近所学，要么所用方法是本节课的内容，再难的问题都会有明显的“暗示”，甚至还要加老师的提示，从而失去其思维的价值.甚至在授课时，老师在事先设计好的思路下，想方设法堵住学生“出轨”的想法.

在教学中如何让学生自己动起来，培养学生创新意识，发展求异思维呢？

一、 在发现中学习，培养学生的求异精神

平时的教学都是以传授知识为中心，力求把知识讲深、讲透.在处理教材时则采用结果教学的方法，忽视知识的发生、形成过程.长此以往，学生惯用上课时竖起两只耳朵，只作为知识的接受机器，失去了对知识真伪的判别，更重要的是失去了学生积极探究知识的原动力.应试能力强，应用知识解决问题的能力差是我国教育中普遍存在的问题.

发现性学习者认为，学生学习书本知识的过程不是对书本知识的直接接受、占有和重复，而是对学习的知识能动地选择、批判、加工和改造的过程.认识到这一点，我们在教学中应关注学生的主体地位，在处理教材时应以学生的主动探索为线索，力求让学生经历知识的发生、形成过程，让学生在开放的学习环境中，从多渠道获取知识，并能将所学知识加以综合应用.例如在讲向量概念时，传统做法是将向量的有关概念直接抛给学生，然后通过题组训练，使其对向量的有关概念加以记忆并能熟练运用.而我们若将向量的有关概念设置在问题情境中，让学生在解决问题中体会概念的形成，让学生在过程中体会知识的形成，并体会向量在实际中的应用，让学生在亲身体验中获取知识，变被动学习为主动探求.这样不仅激发了学生求知的原动力，同时也能兼顾到学生个体学习的差异性.达到了培养学生创新求异的目的.

二、 从多角度培养学生的发散、求异思维

问题是数学的核心，解题教学是我们数学教学的基石.我们对教材上典型例题除了引导学生分析其思维过程外，还应当引导学生探究一些新的解法.使学生从不同的侧面，不依常规寻求变异，从隐秘的教学关系中找到问题的实质，探究各种知识的相互联系，探讨多种方法解决问题，充分发挥例题的作用，训练学生的求异思维.同时也能引导学生把已学知识同化到原有的认知结构中去，使所学知识纵横联系，形成网络.

1.通过一题多解的教学，培养学生的求异思维

例1 且a，b∈R且a+b=1.求证（a+2）2+（b+2）2≥252.

通过课堂讨论和课后研讨，学生给出了比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、均值换元法、构造函数法、数形结合法多种方法.

一题多解不仅能复习较多的知识，激发学生的学习兴趣，而且能培养学生从多角度地分析问题，总结一般的解题方法，避免题海战，减轻学生负担，更能活跃学生的数学思维，充分挖掘问题的本质，使学生的发散、求异思维得到提高.

2.通过一题多变的教学 ，培养学生的发散、求异思维

例2 （选修2-3教材中，第13页例7）有6个人排成一排，

（1）甲和乙两人相邻的排法有多少种？

（2）甲、乙、丙三人两两不相邻的排法有多少种？

我们由该题还可以变出多种题目，如下面变式练习：

变式 有3名男生、4名女生排成一排，按下列要求有多少种不同的排法？

（1）7人站成一排；

（2）选其中5人排成一行

（3）甲只能在中间或两头；

（4）甲、乙二人必须在两头 ；

（5）甲不在排头，乙不在排尾；

（6）男生、女生各站一边；

（7）男生必须排在一起；

（8）男生、女生各不相邻；

（9）男生不能相邻；

（10）甲、乙中间必须有3人.

通过变条件，变结论，变图形，变题型等等，使学生在一题多变中学会思考，在复杂问题中，学会随机应变，从而使学生的发散、求异思维能力得到培养.

三、 在错解的剖析过程中培养学生的批判、求异思维

教育心理学指出：“概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息”.通过设错——纠错——醒悟的教学过程，可进一步帮助学生理解和掌握知识，培养学生的求异精神.

例3 若f（cosx）=sin2x，求f（sinx）的表达式.

解法一： 因为sinx=cos（π2-x），

所以f（sinx）=f（cos（π2-x））=sin[2（π2-x）]=sin2x.

解法二：因为sinx=cos（3π2+x），

所以f（sinx）=f（cos（3π2+x））=sin（3π+2x）=-sin2x.

解法三：设cosx=t（-1≤t≤1），则sinx=±1-t2.

所以f（t）=±2t1-t2，所以f（sinx）=±sin2x.

分析 因为f（cosx）=sin2x=2sinxcosx=±2cosx1-cos2x ，

所以f（t）=±2t1-t2，

所以f（sinx）=±sin2x.

同一题目为什么会得出多种结果？实际上， 这样的函数不存在，本题是一错题.

四、在研究中学习，通过合作探究，培养求同存异的精神

研究性学习为学生提供了一个开放的空间，能让学生亲自体验知识的形成与产生过程，能体验到生动的数学，并能用数学去解决问题.其条件的不完备性和答案的不确定性给学生留下了极大的思维创造空间，可以培养学生思维的广阔性、灵活性和多样性.在小组讨论中每个学生带着各自的想法，在讨论中产生思维的碰撞，从而达到思想的共鸣.不仅培养了集体合作的精神，又能达到求同存异的目的.endprint