怎样简化或避免分类讨论

杜菊森

分类讨论思想是高中重要的数学思想，也是高考考查的重点.

一、正难则反思想，有效避免讨论

有时正面直接思考问题，需要分多种情况考虑.而如果考察对立面，可能情况会显得更简单，这就是正难则反的补集思想.这种思想在函数、概率等问题中很常见.

例1 已知函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1，1]上至少存在一个实数c，使f（c）>0，求实数p的取值范围.

解 至少存在一个实数c，使f（c）>0，情况很多.而我们考虑反面的话，即是对于区间[-1，1]上任意的数c，都有f（c）≤0.结合图形可知，只需要满足f（-1）≤0且f（1）≤0即可，解得p∈（-∞，-3]∪[32，+∞），再取补集可得范围为p∈（-3，32）.

二、巧用公式，有效避免讨论

例2 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .

分析 如果利用等比数列前n项和公式求解，则需要对公比q=1和q≠1两种情况进行讨论.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，代入已知条件，即可避免分类讨论，使问题容易得到解决.

解析 因为Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+（1+q）an+1，可得（2+q）an+1=0，又an+1≠0，则q=-2.

评析 对于涉及等比数列前n项和的问题，若能直接运用已知条件中的各个量的关系求解，既可避免讨论又可使问题得到灵活解决.

三、分离参数，有效避免讨论

例3 已知奇函数f（x）是R上的减函数，若对任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）>0恒成立，求实数k的取值范围.

分析 根据f（x）是R上的奇函数，将f（kx）+f（-x2+x-2）>0化为f（kx）>f（x2-x+2）.再根据f（x）是R上的减函数，得到x2-（1+k）x+2>0.若记φ（x）=x2-（1+k）x+2，则需要φ（x）=x2-（1+k）x+2的最小值大于0，因此在求函数的最小值时需要分类讨论.如果我们将x2-（1+k）x+2>0进行参数分离，即k

解析 因为f（kx）+f（-x2+x-2）>0，且f（x）是R上的奇函数，减函数，所以f（kx）>f（x2-x+2），得到kx

评析 按照常规思路，由⑴式转化为x2-（1+k）x+2>0在x∈（0，1]上恒成立问题，可令g（x）=x2-（1+k）x+2，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到：k+12<0，

g（0）≥0或0≤k+12<1，

g（k+12）>0或k+12≥1，

g（1）>0.解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，从而求得k的取值范围为（-∞，2）.这样解就显得比较繁琐.因此有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解，就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路.

分类讨论思想是高中重要的数学思想，也是高考考查的重点.

一、正难则反思想，有效避免讨论

有时正面直接思考问题，需要分多种情况考虑.而如果考察对立面，可能情况会显得更简单，这就是正难则反的补集思想.这种思想在函数、概率等问题中很常见.

例1 已知函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1，1]上至少存在一个实数c，使f（c）>0，求实数p的取值范围.

解 至少存在一个实数c，使f（c）>0，情况很多.而我们考虑反面的话，即是对于区间[-1，1]上任意的数c，都有f（c）≤0.结合图形可知，只需要满足f（-1）≤0且f（1）≤0即可，解得p∈（-∞，-3]∪[32，+∞），再取补集可得范围为p∈（-3，32）.

二、巧用公式，有效避免讨论

例2 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .

分析 如果利用等比数列前n项和公式求解，则需要对公比q=1和q≠1两种情况进行讨论.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，代入已知条件，即可避免分类讨论，使问题容易得到解决.

解析 因为Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+（1+q）an+1，可得（2+q）an+1=0，又an+1≠0，则q=-2.

评析 对于涉及等比数列前n项和的问题，若能直接运用已知条件中的各个量的关系求解，既可避免讨论又可使问题得到灵活解决.

三、分离参数，有效避免讨论

例3 已知奇函数f（x）是R上的减函数，若对任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）>0恒成立，求实数k的取值范围.

分析 根据f（x）是R上的奇函数，将f（kx）+f（-x2+x-2）>0化为f（kx）>f（x2-x+2）.再根据f（x）是R上的减函数，得到x2-（1+k）x+2>0.若记φ（x）=x2-（1+k）x+2，则需要φ（x）=x2-（1+k）x+2的最小值大于0，因此在求函数的最小值时需要分类讨论.如果我们将x2-（1+k）x+2>0进行参数分离，即k

解析 因为f（kx）+f（-x2+x-2）>0，且f（x）是R上的奇函数，减函数，所以f（kx）>f（x2-x+2），得到kx

评析 按照常规思路，由⑴式转化为x2-（1+k）x+2>0在x∈（0，1]上恒成立问题，可令g（x）=x2-（1+k）x+2，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到：k+12<0，

g（0）≥0或0≤k+12<1，

g（k+12）>0或k+12≥1，

g（1）>0.解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，从而求得k的取值范围为（-∞，2）.这样解就显得比较繁琐.因此有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解，就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路.

分类讨论思想是高中重要的数学思想，也是高考考查的重点.

一、正难则反思想，有效避免讨论

有时正面直接思考问题，需要分多种情况考虑.而如果考察对立面，可能情况会显得更简单，这就是正难则反的补集思想.这种思想在函数、概率等问题中很常见.

例1 已知函数f（x）=4x2-2（p-2）x-2p2-p+1在区间[-1，1]上至少存在一个实数c，使f（c）>0，求实数p的取值范围.

解 至少存在一个实数c，使f（c）>0，情况很多.而我们考虑反面的话，即是对于区间[-1，1]上任意的数c，都有f（c）≤0.结合图形可知，只需要满足f（-1）≤0且f（1）≤0即可，解得p∈（-∞，-3]∪[32，+∞），再取补集可得范围为p∈（-3，32）.

二、巧用公式，有效避免讨论

例2 设等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，若Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，则q的值为 .

分析 如果利用等比数列前n项和公式求解，则需要对公比q=1和q≠1两种情况进行讨论.注意到Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，代入已知条件，即可避免分类讨论，使问题容易得到解决.

解析 因为Sn+1，Sn，Sn+2成等差数列，又Sn+1=Sn+an+1，Sn+2=Sn+1+qan+1=Sn+（1+q）an+1，所以2Sn=Sn+1+Sn+2=Sn+an+1+Sn+（1+q）an+1，可得（2+q）an+1=0，又an+1≠0，则q=-2.

评析 对于涉及等比数列前n项和的问题，若能直接运用已知条件中的各个量的关系求解，既可避免讨论又可使问题得到灵活解决.

三、分离参数，有效避免讨论

例3 已知奇函数f（x）是R上的减函数，若对任意的x∈（0，1]，不等式f（kx）+f（-x2+x-2）>0恒成立，求实数k的取值范围.

分析 根据f（x）是R上的奇函数，将f（kx）+f（-x2+x-2）>0化为f（kx）>f（x2-x+2）.再根据f（x）是R上的减函数，得到x2-（1+k）x+2>0.若记φ（x）=x2-（1+k）x+2，则需要φ（x）=x2-（1+k）x+2的最小值大于0，因此在求函数的最小值时需要分类讨论.如果我们将x2-（1+k）x+2>0进行参数分离，即k

解析 因为f（kx）+f（-x2+x-2）>0，且f（x）是R上的奇函数，减函数，所以f（kx）>f（x2-x+2），得到kx

评析 按照常规思路，由⑴式转化为x2-（1+k）x+2>0在x∈（0，1]上恒成立问题，可令g（x）=x2-（1+k）x+2，然后根据二次函数性质及对称轴位置的变化，进行分类讨论，得到：k+12<0，

g（0）≥0或0≤k+12<1，

g（k+12）>0或k+12≥1，

g（1）>0.解得k<-1或-1≤k<1或1≤k<2，从而求得k的取值范围为（-∞，2）.这样解就显得比较繁琐.因此有些不等式在区间上的“恒成立”问题，一般通过分离变量，转化为函数的最值问题求解，就可以避免分类讨论，使得解题过程简明快捷，少走弯路.