一道2013年高考压轴题的探究

郭胜光

2013年全国高考数学山东卷理科第22题：椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.

此题题设简明、立意新颖，主要考查椭圆方程、直线方程、三角形内角平分线、直线和椭圆的位置关系、两点连线的斜率公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.是较好的压轴题.

笔者将此题作为能力测试题，对所教高二两个理科实验班学生测试，测试时间为20分钟，满分为14分，结果两班108位同学只有2个同学得14分，10分以上的同学22人，8分以上的同学41人，平均得分6.9分，难度系数为0.49.笔者所教两个班是全年级学生程度最好的两个班，尚且得分率不高，何况大部分学生主要靠第（Ⅰ）小题得分，鉴于此，笔者对此题做了认真探究.

1.解法探究

（Ⅰ）由题意容易求得椭圆C的方程为x24+y2=1.

（Ⅱ）解法1：设P（x0，y0）（y0≠0）.又F1（-3，0），F2（3，0）所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1∶y0x-（x0+3）y+3y0=0，lPF2∶y0x-（x0-3）y-3y0=0.由题意得|my0+3y0|y20+（x0+3）2=|my0-3y0|y20+）（x0-3）2.由于点P在椭圆上，所以x204+y20=1，则|m+3|（32x0-2）2=|m-3|（32x0+2）2.所以m=34x0.

因为-3

解法2 设P（x0，y0）（y0≠0）.由题意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即（2+32x0）（3-m）=（2-32x0）（3+m），解得m=34x0.因为-2

（Ⅲ） 证法1：设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l方程为y=y0=k（x-x0）.将l方程代入椭圆方程x24+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8（ky0-k2x0）x+4（y20-2kx0y0+k2x20-1）=0，由题意得Δ=0，即（4-x20）k2+2x0y0k+1-y20=0.又x24+y20=1，所以16y20k2+8x0y0k+x20=0，故k=-x04y0.由（Ⅱ）知1k1+1k2=x0+3y0+x0-3y0=2x0y0.则1kk1+1kk2=1k（1k1+1k2）=（-4y0x0）·2x0y0=-8=定值.

证法2 设P（x0，y0）（y0≠0），因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，则直线l是过P点与椭圆C相切的切线. 在方程x24+y2=1两边对x求导得12x+2yy′=0，所以k=-x04y0.以下证法与证法1相同.

2. 结论推广

定理1 椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），则-a2-b2a为证定理1，先证引理1.

引理1 椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.则∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.

证明 设P（x0，y0）（y0≠0），∠F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M（m，0）.

由题意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即a+ex0a-ex0=m+cc-m（其中e为椭圆的离心率，c2=a2-b2），解得m=e2x0.

若x0=0，显然∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.

若x0≠0，因为m=e2x0，所以直线PM的斜率kPM=y0x0-e2x0=a2y0b2x0，因为PH⊥PM，所以外角平分线PH的斜率kPH=-b2x0a2y0.而过点P与椭圆C相切的切线斜率为-b2x0a2y0，则∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.

定理1 证明： 设P（x0，y0）（y0≠0）.由引理1的证明得m=e2x0，因为-a定理2 双曲线C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是双曲线C上除顶点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的外角平分线PH交C的实轴于点H（m，0），则m<-a2+b2a，或m>a2+b2a；若过点P双曲线切线的斜率k≠0，则1kk1+1kk2为定值.为证定理2，先证引理2.

引理2 双曲线C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是双曲线C上除顶点外的任一点，连接PF1，PF2.则∠F1PF2的内角平分线与双曲线相切.

证明：设P（x0，y0（y0≠0），∠F1PF2的内角平分线PM交C的实轴于点M（t，0）.

由题意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即ex0+aex0-a=t+cc-t（其中e为双曲线的离心率，c2=a2+b2），解得t=a2x0.所以∠F1PF2的内角平分线PM的斜率kPM=y0x0-a2x0=x0y0x20-a2，又x20a2-y20b2=1，则kPM=b2x0a2y0. 方程x2a2-y2b2=1两边对x求导得2xa2-2yy′b2=0，即y′=b2xa2y，则过点P与双曲线相切的切线斜率=b2x0a2y0=kPM，故∠F1PF2的内角平分线与双曲线相切.

定理2证明： 设P（x0，y0）（y0≠0），由引理2证明知∠F1PF2的内角平分线PM的斜率kPM=b2x0a2y0，因为PH⊥PM，所以∠F1PF2外角平分线PH的斜率kPH=-a2y0b2x0，则直线PH的方程为y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），令y=0得x=e2x0，即m=e2x0，又x0<-a或x0>a.则m<-a2+b2a，或m>a2+b2a.1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，k=kPM=b2x0a2y0，1k=a2y0b2x0， 则1kk1=1kk2=2x0y0·a2y0b2x0=2a2b2=定值.

2013年全国高考数学山东卷理科第22题：椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.

此题题设简明、立意新颖，主要考查椭圆方程、直线方程、三角形内角平分线、直线和椭圆的位置关系、两点连线的斜率公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.是较好的压轴题.

笔者将此题作为能力测试题，对所教高二两个理科实验班学生测试，测试时间为20分钟，满分为14分，结果两班108位同学只有2个同学得14分，10分以上的同学22人，8分以上的同学41人，平均得分6.9分，难度系数为0.49.笔者所教两个班是全年级学生程度最好的两个班，尚且得分率不高，何况大部分学生主要靠第（Ⅰ）小题得分，鉴于此，笔者对此题做了认真探究.

1.解法探究

（Ⅰ）由题意容易求得椭圆C的方程为x24+y2=1.

（Ⅱ）解法1：设P（x0，y0）（y0≠0）.又F1（-3，0），F2（3，0）所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1∶y0x-（x0+3）y+3y0=0，lPF2∶y0x-（x0-3）y-3y0=0.由题意得|my0+3y0|y20+（x0+3）2=|my0-3y0|y20+）（x0-3）2.由于点P在椭圆上，所以x204+y20=1，则|m+3|（32x0-2）2=|m-3|（32x0+2）2.所以m=34x0.

因为-3

解法2 设P（x0，y0）（y0≠0）.由题意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即（2+32x0）（3-m）=（2-32x0）（3+m），解得m=34x0.因为-2

（Ⅲ） 证法1：设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l方程为y=y0=k（x-x0）.将l方程代入椭圆方程x24+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8（ky0-k2x0）x+4（y20-2kx0y0+k2x20-1）=0，由题意得Δ=0，即（4-x20）k2+2x0y0k+1-y20=0.又x24+y20=1，所以16y20k2+8x0y0k+x20=0，故k=-x04y0.由（Ⅱ）知1k1+1k2=x0+3y0+x0-3y0=2x0y0.则1kk1+1kk2=1k（1k1+1k2）=（-4y0x0）·2x0y0=-8=定值.

证法2 设P（x0，y0）（y0≠0），因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，则直线l是过P点与椭圆C相切的切线. 在方程x24+y2=1两边对x求导得12x+2yy′=0，所以k=-x04y0.以下证法与证法1相同.

2. 结论推广

定理1 椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），则-a2-b2a为证定理1，先证引理1.

引理1 椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.则∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.

证明 设P（x0，y0）（y0≠0），∠F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M（m，0）.

由题意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即a+ex0a-ex0=m+cc-m（其中e为椭圆的离心率，c2=a2-b2），解得m=e2x0.

若x0=0，显然∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.

若x0≠0，因为m=e2x0，所以直线PM的斜率kPM=y0x0-e2x0=a2y0b2x0，因为PH⊥PM，所以外角平分线PH的斜率kPH=-b2x0a2y0.而过点P与椭圆C相切的切线斜率为-b2x0a2y0，则∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.

定理1 证明： 设P（x0，y0）（y0≠0）.由引理1的证明得m=e2x0，因为-a定理2 双曲线C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是双曲线C上除顶点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的外角平分线PH交C的实轴于点H（m，0），则m<-a2+b2a，或m>a2+b2a；若过点P双曲线切线的斜率k≠0，则1kk1+1kk2为定值.为证定理2，先证引理2.

引理2 双曲线C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是双曲线C上除顶点外的任一点，连接PF1，PF2.则∠F1PF2的内角平分线与双曲线相切.

证明：设P（x0，y0（y0≠0），∠F1PF2的内角平分线PM交C的实轴于点M（t，0）.

由题意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即ex0+aex0-a=t+cc-t（其中e为双曲线的离心率，c2=a2+b2），解得t=a2x0.所以∠F1PF2的内角平分线PM的斜率kPM=y0x0-a2x0=x0y0x20-a2，又x20a2-y20b2=1，则kPM=b2x0a2y0. 方程x2a2-y2b2=1两边对x求导得2xa2-2yy′b2=0，即y′=b2xa2y，则过点P与双曲线相切的切线斜率=b2x0a2y0=kPM，故∠F1PF2的内角平分线与双曲线相切.

定理2证明： 设P（x0，y0）（y0≠0），由引理2证明知∠F1PF2的内角平分线PM的斜率kPM=b2x0a2y0，因为PH⊥PM，所以∠F1PF2外角平分线PH的斜率kPH=-a2y0b2x0，则直线PH的方程为y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），令y=0得x=e2x0，即m=e2x0，又x0<-a或x0>a.则m<-a2+b2a，或m>a2+b2a.1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，k=kPM=b2x0a2y0，1k=a2y0b2x0， 则1kk1=1kk2=2x0y0·a2y0b2x0=2a2b2=定值.

2013年全国高考数学山东卷理科第22题：椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2，离心率为32，过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为l.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），求m的取值范围；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，过点P作斜率为k的直线l，使得l与椭圆C有且只有一个公共点.设直线PF1，PF2的斜率分别为k1，k2，若k≠0，试证明1kk1+1kk2为定值，并求出这个定值.

此题题设简明、立意新颖，主要考查椭圆方程、直线方程、三角形内角平分线、直线和椭圆的位置关系、两点连线的斜率公式等基础知识，考查运算求解能力、抽象概括能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想.是较好的压轴题.

笔者将此题作为能力测试题，对所教高二两个理科实验班学生测试，测试时间为20分钟，满分为14分，结果两班108位同学只有2个同学得14分，10分以上的同学22人，8分以上的同学41人，平均得分6.9分，难度系数为0.49.笔者所教两个班是全年级学生程度最好的两个班，尚且得分率不高，何况大部分学生主要靠第（Ⅰ）小题得分，鉴于此，笔者对此题做了认真探究.

1.解法探究

（Ⅰ）由题意容易求得椭圆C的方程为x24+y2=1.

（Ⅱ）解法1：设P（x0，y0）（y0≠0）.又F1（-3，0），F2（3，0）所以直线PF1，PF2的方程分别为lPF1∶y0x-（x0+3）y+3y0=0，lPF2∶y0x-（x0-3）y-3y0=0.由题意得|my0+3y0|y20+（x0+3）2=|my0-3y0|y20+）（x0-3）2.由于点P在椭圆上，所以x204+y20=1，则|m+3|（32x0-2）2=|m-3|（32x0+2）2.所以m=34x0.

因为-3

解法2 设P（x0，y0）（y0≠0）.由题意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即（2+32x0）（3-m）=（2-32x0）（3+m），解得m=34x0.因为-2

（Ⅲ） 证法1：设P（x0，y0）（y0≠0），则直线l方程为y=y0=k（x-x0）.将l方程代入椭圆方程x24+y2=1，整理得（1+4k2）x2+8（ky0-k2x0）x+4（y20-2kx0y0+k2x20-1）=0，由题意得Δ=0，即（4-x20）k2+2x0y0k+1-y20=0.又x24+y20=1，所以16y20k2+8x0y0k+x20=0，故k=-x04y0.由（Ⅱ）知1k1+1k2=x0+3y0+x0-3y0=2x0y0.则1kk1+1kk2=1k（1k1+1k2）=（-4y0x0）·2x0y0=-8=定值.

证法2 设P（x0，y0）（y0≠0），因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点，则直线l是过P点与椭圆C相切的切线. 在方程x24+y2=1两边对x求导得12x+2yy′=0，所以k=-x04y0.以下证法与证法1相同.

2. 结论推广

定理1 椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M（m，0），则-a2-b2a为证定理1，先证引理1.

引理1 椭圆C：x2a2+y2b2=1 （a>b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，连接PF1，PF2.则∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.

证明 设P（x0，y0）（y0≠0），∠F1PF2的内角平分线PM交C的长轴于点M（m，0）.

由题意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即a+ex0a-ex0=m+cc-m（其中e为椭圆的离心率，c2=a2-b2），解得m=e2x0.

若x0=0，显然∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.

若x0≠0，因为m=e2x0，所以直线PM的斜率kPM=y0x0-e2x0=a2y0b2x0，因为PH⊥PM，所以外角平分线PH的斜率kPH=-b2x0a2y0.而过点P与椭圆C相切的切线斜率为-b2x0a2y0，则∠F1PF2的外角平分线PH与椭圆C相切.

定理1 证明： 设P（x0，y0）（y0≠0）.由引理1的证明得m=e2x0，因为-a定理2 双曲线C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是双曲线C上除顶点外的任一点，连接PF1，PF2.设∠F1PF2的外角平分线PH交C的实轴于点H（m，0），则m<-a2+b2a，或m>a2+b2a；若过点P双曲线切线的斜率k≠0，则1kk1+1kk2为定值.为证定理2，先证引理2.

引理2 双曲线C：x2a2-y2b2=1 （a>0，b>0）的左、右焦点分别是F1，F2.点P是双曲线C上除顶点外的任一点，连接PF1，PF2.则∠F1PF2的内角平分线与双曲线相切.

证明：设P（x0，y0（y0≠0），∠F1PF2的内角平分线PM交C的实轴于点M（t，0）.

由题意得|PF1||PF2|=|F1M||F2M|，即ex0+aex0-a=t+cc-t（其中e为双曲线的离心率，c2=a2+b2），解得t=a2x0.所以∠F1PF2的内角平分线PM的斜率kPM=y0x0-a2x0=x0y0x20-a2，又x20a2-y20b2=1，则kPM=b2x0a2y0. 方程x2a2-y2b2=1两边对x求导得2xa2-2yy′b2=0，即y′=b2xa2y，则过点P与双曲线相切的切线斜率=b2x0a2y0=kPM，故∠F1PF2的内角平分线与双曲线相切.

定理2证明： 设P（x0，y0）（y0≠0），由引理2证明知∠F1PF2的内角平分线PM的斜率kPM=b2x0a2y0，因为PH⊥PM，所以∠F1PF2外角平分线PH的斜率kPH=-a2y0b2x0，则直线PH的方程为y-y0=-a2y0b2x0（x-x0），令y=0得x=e2x0，即m=e2x0，又x0<-a或x0>a.则m<-a2+b2a，或m>a2+b2a.1k1+1k2=x0+cy0+x0-cy0=2x0y0，k=kPM=b2x0a2y0，1k=a2y0b2x0， 则1kk1=1kk2=2x0y0·a2y0b2x0=2a2b2=定值.