立足课本回归，培养数学思维

丁明杰

新课标明确指出：数学教育的基本目标之一是提高学生的数学思维能力.然而，在实际高三一轮复习教学的过程中，回归课本将原题原做，炒冷饭的现象却比较常见，加之各种高密度、高强度的解题训练.使得学生只是机械地模仿解题，反而阻碍了学生思维能力的培养，加大了学生的疲劳学习，削弱了学生的学习兴趣.事实上，我们只要在课本原题的基础上进行追加、追问，将思维背景进行拓展，将问题进行再延伸，就能有效培养学生思维的深度和广度，激活学生的思维，帮助学生构建各章节内部及章节之间的网络结构，形成知识板块，促进学生数学思维能力的提高和发展.

图1例如：普通高中课程标准实验教科书P124页第10题：如图1，将矩形纸片的右下角折起，使得该角顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度l取决于角θ的大小.探求l，θ之间的关系式，并导出用θ表示l的函数表达式.

解 如图1，∠ECB=∠ECD=π2-θ，∠DCA=π-（π2-θ）-（π2-θ）=2θ.

因为0<2θ<π2，且0<θ<π2，所以π4 <θ<π2.

Rt△CBE中，BC=CD=lsinθ，Rt△DAC中，AC=DCcos2θ=lsinθcos2θ.因为AB=CA+CB=6，所以lsinθcos2θ+lsinθ=6.l=6sinθ（1+cos2θ）=3sinθcos2θ=3sinθ（1-sin2θ）（π4<θ<π2）.

本题放在三角函数习题部分，基于高一，就当时的目的而言：（1）让学生学会选用角作为变量建立函数.（2）让学生熟练掌握三角公式，进行化简.而对于高三经过一轮复习的学生而言，本题就不应到建立函数，化简三角函数为止了，也不应再局限在三角函数章节了.我们可以进一步追问所建函数的性质等.如本题就可进一步追问：当θ为何值时，l的值最小，最小值为多少？

解 令u=sinθ（1-sin2θ），t=sinθ，则t∈（0，22）.

因为u=t（1-t2），t∈（0，22），所以u∈[239，24）.

因为l=1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332].

当sinθ=33时，l的值最小，最小值为332.

这样通过追加追问折痕的最值问题，在三角函数部分就解决不了了，自然引发了学生的思维过渡、换元转化为三次函数的思想方法，进而促使学生联系求导步骤、反比例函数的图象等基本方法、基本技能去求解最值问题.将知识贯穿联通，提高效率事半功倍.如此，回归课本决不是原题原做，炒冷饭，而是让学生活用思想方法，转化问题，解决问题.构建各知识之间的联系，融会贯通.当然，为了求得最小值，我们也不应该将本题再局限在三角函数部分了，还可以让学生将思维背景进行拓展.例如本题就还可以从解析几何为思维背景出发.

图2解 如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系，设C（a，0）（00），E（6，m）（m>0），所以CE：y=m6-a（x-a）.

又B，D关于直线CE对称

m6-a·-b6=-1，

b2=m6-a（3-a）

m2=3（6-a）23-a.

l2=（6-a）2+m2=（6-a）2+3（6-a）23-a.

令t=3-a，t∈（-3，0），l2=（t-3）2+3（t-3）2t=t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）.

这样，通过思维背景的拓展，催生了学生的灵活思维，开拓了学生的思维角度.使学生自然地将各章节融会贯通，形成完整的知识体系.当然，将思维背景拓展到解析几何，我们就又可以进一步延伸到圆锥曲线.

图3解 如图3，以直线AB为y轴，以AB的中垂线为x轴，建立直角坐标系，过D作DM∥AB交CE于点M，连结BE，由题意可得DM=MB，DM⊥AD，由抛物线的定义可知：M点的轨迹是以AD为准线，B为焦点的抛物线弧.折痕与抛物线相切.M点的轨迹方程为x2=-12y，l是以M（m，n）为切点的抛物线y=-112x2的切线，切线的斜率为k=-16m，所以CE：y-n=-a6（x-m）.令y=-3，得x=m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x=0，得y=16m2+n，C（0，16m2+n）.l2=CE2=[m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2=-12n，l2=36-3（n+3）2m+（m-3）2=n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）.

上述例题是在高三学生回归课本时的处理，这个阶段恰是高三一轮复习刚结束，学生对各知识段已经基本掌握，但是还没有形成完整的知识体系，各知识之间、各章节之间的关系还没有得到很好的联系和融合.此时的学生迫切需要将高中知识融为一体，构建各章节内部及章节之间的网络结构，形成完整的知识体系.此时，将课本原题进行追问、拓展、延伸，恰到好处地成为载体，有效地达成培养数学思维的目标.

心理学研究表明：数学教学要适应学生的认知发展水平， 数学素质与人的心理发展水平密切相关，这些素质是在长期的数学学习过程中潜移默化地养成的.因此在新授课时未能和不宜追问、拓展、延伸的问题，在一轮复习之后，及时对课本回归，对课本的题目进行追问、拓展、延伸是必要的，也是符合心理认知发展规律的.

数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法.上述例题中利用设角减少未知量的个数，利用函数求最值，建立直角坐标系解图形问题，折叠联系到解析几何中的对称问题，再由折痕联系到抛物线的轨迹等等，这些想法、思路、途径和方法都在不断地培养学生的解题方法、解题策略和数学思维.因此，高三一轮复习后的回归课本，将课本原题进行追问、拓展、延伸也正是培养解题策略和数学思维的具体实战.

将上述课本原题进行的追问、拓展、延伸后，囊括了高中数学的函数、三角、解几、导数等重要知识板块.在解决问题的过程中，学生所涉及到的不再是单一的、标准的、模式化了的问题，那么，就需要另辟蹊径，创造性的思维，就需要思考解决问题的新方法和新策略.而方法和策略的获得及证明正确的过程，恰恰又被认为是创造的过程或培养思维能力的过程.

因此，在高三一轮复习中，应该将课本原题进行追问、拓展、延伸到底，立足课本回归，着力培养数学思维，凸显高效课堂.

新课标明确指出：数学教育的基本目标之一是提高学生的数学思维能力.然而，在实际高三一轮复习教学的过程中，回归课本将原题原做，炒冷饭的现象却比较常见，加之各种高密度、高强度的解题训练.使得学生只是机械地模仿解题，反而阻碍了学生思维能力的培养，加大了学生的疲劳学习，削弱了学生的学习兴趣.事实上，我们只要在课本原题的基础上进行追加、追问，将思维背景进行拓展，将问题进行再延伸，就能有效培养学生思维的深度和广度，激活学生的思维，帮助学生构建各章节内部及章节之间的网络结构，形成知识板块，促进学生数学思维能力的提高和发展.

图1例如：普通高中课程标准实验教科书P124页第10题：如图1，将矩形纸片的右下角折起，使得该角顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度l取决于角θ的大小.探求l，θ之间的关系式，并导出用θ表示l的函数表达式.

解 如图1，∠ECB=∠ECD=π2-θ，∠DCA=π-（π2-θ）-（π2-θ）=2θ.

因为0<2θ<π2，且0<θ<π2，所以π4 <θ<π2.

Rt△CBE中，BC=CD=lsinθ，Rt△DAC中，AC=DCcos2θ=lsinθcos2θ.因为AB=CA+CB=6，所以lsinθcos2θ+lsinθ=6.l=6sinθ（1+cos2θ）=3sinθcos2θ=3sinθ（1-sin2θ）（π4<θ<π2）.

本题放在三角函数习题部分，基于高一，就当时的目的而言：（1）让学生学会选用角作为变量建立函数.（2）让学生熟练掌握三角公式，进行化简.而对于高三经过一轮复习的学生而言，本题就不应到建立函数，化简三角函数为止了，也不应再局限在三角函数章节了.我们可以进一步追问所建函数的性质等.如本题就可进一步追问：当θ为何值时，l的值最小，最小值为多少？

解 令u=sinθ（1-sin2θ），t=sinθ，则t∈（0，22）.

因为u=t（1-t2），t∈（0，22），所以u∈[239，24）.

因为l=1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332].

当sinθ=33时，l的值最小，最小值为332.

这样通过追加追问折痕的最值问题，在三角函数部分就解决不了了，自然引发了学生的思维过渡、换元转化为三次函数的思想方法，进而促使学生联系求导步骤、反比例函数的图象等基本方法、基本技能去求解最值问题.将知识贯穿联通，提高效率事半功倍.如此，回归课本决不是原题原做，炒冷饭，而是让学生活用思想方法，转化问题，解决问题.构建各知识之间的联系，融会贯通.当然，为了求得最小值，我们也不应该将本题再局限在三角函数部分了，还可以让学生将思维背景进行拓展.例如本题就还可以从解析几何为思维背景出发.

图2解 如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系，设C（a，0）（00），E（6，m）（m>0），所以CE：y=m6-a（x-a）.

又B，D关于直线CE对称

m6-a·-b6=-1，

b2=m6-a（3-a）

m2=3（6-a）23-a.

l2=（6-a）2+m2=（6-a）2+3（6-a）23-a.

令t=3-a，t∈（-3，0），l2=（t-3）2+3（t-3）2t=t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）.

这样，通过思维背景的拓展，催生了学生的灵活思维，开拓了学生的思维角度.使学生自然地将各章节融会贯通，形成完整的知识体系.当然，将思维背景拓展到解析几何，我们就又可以进一步延伸到圆锥曲线.

图3解 如图3，以直线AB为y轴，以AB的中垂线为x轴，建立直角坐标系，过D作DM∥AB交CE于点M，连结BE，由题意可得DM=MB，DM⊥AD，由抛物线的定义可知：M点的轨迹是以AD为准线，B为焦点的抛物线弧.折痕与抛物线相切.M点的轨迹方程为x2=-12y，l是以M（m，n）为切点的抛物线y=-112x2的切线，切线的斜率为k=-16m，所以CE：y-n=-a6（x-m）.令y=-3，得x=m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x=0，得y=16m2+n，C（0，16m2+n）.l2=CE2=[m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2=-12n，l2=36-3（n+3）2m+（m-3）2=n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）.

上述例题是在高三学生回归课本时的处理，这个阶段恰是高三一轮复习刚结束，学生对各知识段已经基本掌握，但是还没有形成完整的知识体系，各知识之间、各章节之间的关系还没有得到很好的联系和融合.此时的学生迫切需要将高中知识融为一体，构建各章节内部及章节之间的网络结构，形成完整的知识体系.此时，将课本原题进行追问、拓展、延伸，恰到好处地成为载体，有效地达成培养数学思维的目标.

心理学研究表明：数学教学要适应学生的认知发展水平， 数学素质与人的心理发展水平密切相关，这些素质是在长期的数学学习过程中潜移默化地养成的.因此在新授课时未能和不宜追问、拓展、延伸的问题，在一轮复习之后，及时对课本回归，对课本的题目进行追问、拓展、延伸是必要的，也是符合心理认知发展规律的.

数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法.上述例题中利用设角减少未知量的个数，利用函数求最值，建立直角坐标系解图形问题，折叠联系到解析几何中的对称问题，再由折痕联系到抛物线的轨迹等等，这些想法、思路、途径和方法都在不断地培养学生的解题方法、解题策略和数学思维.因此，高三一轮复习后的回归课本，将课本原题进行追问、拓展、延伸也正是培养解题策略和数学思维的具体实战.

将上述课本原题进行的追问、拓展、延伸后，囊括了高中数学的函数、三角、解几、导数等重要知识板块.在解决问题的过程中，学生所涉及到的不再是单一的、标准的、模式化了的问题，那么，就需要另辟蹊径，创造性的思维，就需要思考解决问题的新方法和新策略.而方法和策略的获得及证明正确的过程，恰恰又被认为是创造的过程或培养思维能力的过程.

因此，在高三一轮复习中，应该将课本原题进行追问、拓展、延伸到底，立足课本回归，着力培养数学思维，凸显高效课堂.

新课标明确指出：数学教育的基本目标之一是提高学生的数学思维能力.然而，在实际高三一轮复习教学的过程中，回归课本将原题原做，炒冷饭的现象却比较常见，加之各种高密度、高强度的解题训练.使得学生只是机械地模仿解题，反而阻碍了学生思维能力的培养，加大了学生的疲劳学习，削弱了学生的学习兴趣.事实上，我们只要在课本原题的基础上进行追加、追问，将思维背景进行拓展，将问题进行再延伸，就能有效培养学生思维的深度和广度，激活学生的思维，帮助学生构建各章节内部及章节之间的网络结构，形成知识板块，促进学生数学思维能力的提高和发展.

图1例如：普通高中课程标准实验教科书P124页第10题：如图1，将矩形纸片的右下角折起，使得该角顶点落在矩形的左边上，那么折痕长度l取决于角θ的大小.探求l，θ之间的关系式，并导出用θ表示l的函数表达式.

解 如图1，∠ECB=∠ECD=π2-θ，∠DCA=π-（π2-θ）-（π2-θ）=2θ.

因为0<2θ<π2，且0<θ<π2，所以π4 <θ<π2.

Rt△CBE中，BC=CD=lsinθ，Rt△DAC中，AC=DCcos2θ=lsinθcos2θ.因为AB=CA+CB=6，所以lsinθcos2θ+lsinθ=6.l=6sinθ（1+cos2θ）=3sinθcos2θ=3sinθ（1-sin2θ）（π4<θ<π2）.

本题放在三角函数习题部分，基于高一，就当时的目的而言：（1）让学生学会选用角作为变量建立函数.（2）让学生熟练掌握三角公式，进行化简.而对于高三经过一轮复习的学生而言，本题就不应到建立函数，化简三角函数为止了，也不应再局限在三角函数章节了.我们可以进一步追问所建函数的性质等.如本题就可进一步追问：当θ为何值时，l的值最小，最小值为多少？

解 令u=sinθ（1-sin2θ），t=sinθ，则t∈（0，22）.

因为u=t（1-t2），t∈（0，22），所以u∈[239，24）.

因为l=1uu∈[239，24]，所以l∈（22，332].

当sinθ=33时，l的值最小，最小值为332.

这样通过追加追问折痕的最值问题，在三角函数部分就解决不了了，自然引发了学生的思维过渡、换元转化为三次函数的思想方法，进而促使学生联系求导步骤、反比例函数的图象等基本方法、基本技能去求解最值问题.将知识贯穿联通，提高效率事半功倍.如此，回归课本决不是原题原做，炒冷饭，而是让学生活用思想方法，转化问题，解决问题.构建各知识之间的联系，融会贯通.当然，为了求得最小值，我们也不应该将本题再局限在三角函数部分了，还可以让学生将思维背景进行拓展.例如本题就还可以从解析几何为思维背景出发.

图2解 如图，以AB所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴建立直角坐标系，设C（a，0）（00），E（6，m）（m>0），所以CE：y=m6-a（x-a）.

又B，D关于直线CE对称

m6-a·-b6=-1，

b2=m6-a（3-a）

m2=3（6-a）23-a.

l2=（6-a）2+m2=（6-a）2+3（6-a）23-a.

令t=3-a，t∈（-3，0），l2=（t-3）2+3（t-3）2t=t2+9t+27t+27， t∈（-3，0）.

这样，通过思维背景的拓展，催生了学生的灵活思维，开拓了学生的思维角度.使学生自然地将各章节融会贯通，形成完整的知识体系.当然，将思维背景拓展到解析几何，我们就又可以进一步延伸到圆锥曲线.

图3解 如图3，以直线AB为y轴，以AB的中垂线为x轴，建立直角坐标系，过D作DM∥AB交CE于点M，连结BE，由题意可得DM=MB，DM⊥AD，由抛物线的定义可知：M点的轨迹是以AD为准线，B为焦点的抛物线弧.折痕与抛物线相切.M点的轨迹方程为x2=-12y，l是以M（m，n）为切点的抛物线y=-112x2的切线，切线的斜率为k=-16m，所以CE：y-n=-a6（x-m）.令y=-3，得x=m+6（n+3）m，所以E（m+6（n+3）m，-3）.令x=0，得y=16m2+n，C（0，16m2+n）.l2=CE2=[m+6（n+3）m]2+（16m2+n+3）2.又有m2=-12n，l2=36-3（n+3）2m+（m-3）2=n2+9n+27n+27， n∈（-3，0）.

上述例题是在高三学生回归课本时的处理，这个阶段恰是高三一轮复习刚结束，学生对各知识段已经基本掌握，但是还没有形成完整的知识体系，各知识之间、各章节之间的关系还没有得到很好的联系和融合.此时的学生迫切需要将高中知识融为一体，构建各章节内部及章节之间的网络结构，形成完整的知识体系.此时，将课本原题进行追问、拓展、延伸，恰到好处地成为载体，有效地达成培养数学思维的目标.

心理学研究表明：数学教学要适应学生的认知发展水平， 数学素质与人的心理发展水平密切相关，这些素质是在长期的数学学习过程中潜移默化地养成的.因此在新授课时未能和不宜追问、拓展、延伸的问题，在一轮复习之后，及时对课本回归，对课本的题目进行追问、拓展、延伸是必要的，也是符合心理认知发展规律的.

数学问题的解题策略是指探求数学问题的答案时所采取的途径和方法.上述例题中利用设角减少未知量的个数，利用函数求最值，建立直角坐标系解图形问题，折叠联系到解析几何中的对称问题，再由折痕联系到抛物线的轨迹等等，这些想法、思路、途径和方法都在不断地培养学生的解题方法、解题策略和数学思维.因此，高三一轮复习后的回归课本，将课本原题进行追问、拓展、延伸也正是培养解题策略和数学思维的具体实战.

将上述课本原题进行的追问、拓展、延伸后，囊括了高中数学的函数、三角、解几、导数等重要知识板块.在解决问题的过程中，学生所涉及到的不再是单一的、标准的、模式化了的问题，那么，就需要另辟蹊径，创造性的思维，就需要思考解决问题的新方法和新策略.而方法和策略的获得及证明正确的过程，恰恰又被认为是创造的过程或培养思维能力的过程.

因此，在高三一轮复习中，应该将课本原题进行追问、拓展、延伸到底，立足课本回归，着力培养数学思维，凸显高效课堂.