运用结构思想研究初等几何例说

朱燕华

摘要：现代数学论认为：数学的学习绝对不是单纯的接受课本知识，更重要的是培养和发展自身的能力与思维。实践表明：在数学学习过程中，穿以数学知识为载体的数学思想方法，不仅有助于领悟数学思想，实现数学观念的转化，更能够使自身在获得数学知识的同时经历一个由内而外的“建构”过程。

关键词：结构思想；建构；要素分析

众所周知，几何证明是初等数学学习的难点之一，其难就难在如何寻找证明思路，追根究底还是因为几何证明题的本质不易把握。为此，在初等几何的学习中融入数学思想方法，具有重要意义，而且切实可行。通过平时的学习、探索和积累，我发现其中的“结构思想”，即认为“数学是一个有机的整体，观察数学问题要着眼于结构的整体性。从宏观上对数学问题进行整体研究，抓住问题的框架结构和本质关系，把一些貌似独立而实质又紧密联系的特征视为系统中的整体”，对探寻几何的证明思路，把握问题的本质，培养观察能力有一定的指导意义，为此本文试图用结构思想对初等几何中的难点几何证明问题进行研究，以期提高整体意识，把握问题本质，培养应变能力。

初等几何的研究对象，就是最常见的规则图形——直线形、圆、相似形、柱、锥、台、球等，我们常常研究它们的度量性质和基本位置关系，而几何图形的度量性质和基本位置关系又必须借助于几何证明来实现，可以说，对几何证明的认识和理解，将直接影响到初等几何的学习。

一般说来，人们对证明的理解仅仅局限于定义——运用那些已经认为是正确的判断，逻辑推理，证实表达某个判断的真实性。基于这种观点，往往造成对证明的必要性和证明的意义认识不透，只是被动地进行求证训练，只知其然而不知其所以然，这势必影响了对几何证明的真正理解。日本学者杉山吉茂通过对历史的回顾，并比较古希腊和古代中国对论证方法的异同，主张证明应该还有另一层的含义，即是“分析要素”。结合杉山吉茂教授的观点和通常情况下对证明的理解，证明的意义应该包括两个方面的内容：一是“检验某判断的真实性”；二是要进行“要素分析”。针对“要素分析”，杉山吉茂教授作出了具体的解释，他认为证明的要素有两种：一种是证明所需要的图形要素（条件）；另一种是公理、定义、定理这类要素。实际上，着眼于证明的要素来认识证明的意义就是结构思想的反映。

倘若我们从“分析要素”这一结构思想出发，着眼于使一个命题成立的要素上来观察，那么，我们不仅可以作出和这个命题有关的若干命题，更可以得出更具一般性的结论，达到“抓住问题的框架结构和本质关系”的目的，并学会在此基础上去思考并发现新的问题，从而获得新知识，也就是进行发展性学习，为了具体阐明结构思想及所期待的目的，下面引例说明。

例如：已知弦AB和CD相交于⊙O内一点P（图1），则线段PA、PB、PC、PD有何关系？

图1

分析：连结AC、DB，△APC∽△DPB，可得PA·PB=PC·PD。

在通常的求证思路下，只需完成上述分析就不难了，但若从结构思想这一观点出发，就需进行“要素分析”。在证明的过程中，使用到的图形构成要素为：边PA、PB、PC、PD，点P，边AB和CD是没有用到的构成要素。对于角来说，只要是包含着相等的角的图形就可以。这个例子采用的要素是图形的构成要素，但作为要素，除了图形的构成要素外，还有三角形相似条件等也是要素。

因此，我们对这些要素作任意的改变，将不会影响到证明的结果。由此，所给图形就不一定要求如图1，点P可以在圆外，甚至A、B两点可以重合，C、D两点可以重合。

变式一：若AB、CD的交点P在⊙O外（图2A），上述结论成立吗？

分析：显然成立。连结AC、DB，由△PAC∽△PDB可得PA·PB=PC·PD。

或者：连结AD、BC（图2B），由△PAD∽△PCB可得PA·PB=PC·PD。

图2A

图2B

从一个有意义的但又不太复杂的问题出发，去探寻和发掘问题的潜在规律，使得通过这道题，把思维引入一个完整的理论领域——这便是结构思想的另一种表现形式。实际上，许多例题、习题的背后往往都隐藏着潜在规律。若是善于观察，深入探求问题的各个方面，将有助于理解数学知识是如何彼此相关，从而构成一个协调的整体。我们可以用下面的例题解释这一事实。

变式二：对图2，令PA绕P点旋转，使它和图相切（图3），上述结论有何变化？

图3

分析：此时A点与B点重合，即PB=PA，可猜想上述结论变为PA2=PC·PD。

变式三：对图3，再令割线PC绕点P旋转，直到和圆相切，此时结论又如何呢？（图4）

图4

分析：此时C点与D点重合，即PC=PD。

所以上述结论将变为PA2=PC2。即PA=PC。（负值舍去。）

由于图1、图2、图3、图4本质相同，所以综合上面探究：可以发现什么共同的规律呢?

首先，在“圆”和“AB、CD的交点P”两个不变的信息的制约下，PA、PB、PC、PD均在⊙O内部；其次在圆内可得到四条积相等的线段。由此我们可以得到规律：过圆内任一点，作两条相交弦，被该点所分得的四条线段的积相等。

进一步探究：规律中“形内”这一条件能不能打破呢？观察图2，点P在形外，AB、CD的交点P，为此通过观察图形特征以及已知规律，猜想：过圆外任意一点作两条直线，与圆相交，实际上：这一结论仍成立，仍然有PA·PB=PC·PD。

在上述变化中，围绕“圆”和“点P”两个不变信息，利用运动的思想对图进行了深入探究，探究出本题所潜在的规律，把思维引入一个完整的理论领域。对一个数学问题，如果只满足于表面的解答，那么就会显得单调，收获甚少，因此对数学问题的分析不能只注重表面现象，而应透过现象洞察问题的本质特征。例如本题，教师通过“一题多变”，起到了对“相交弦定理”、“切线定理”、“割线定理”、“切线长定理”归类探究的作用。

初等几何中含有大量的证明题，都适应进行结构思想方法的训练，毫无疑问，这种训练必将有助于培养和提高数学思维能力。

参考文献：

[1] 张艳艳.论数学思想与思维方法教学的创新.沧州师范专科学校学报，2001，（1）.

[2] 赵振威，常士藻.中学数学教材教法.上海：华东师范大学出版社，1994.

[3] 杉山吉茂.基于公理方法的中小学数学学习指导.东京：东洋馆出版社，1986.