一类内部收益率问题的计算方法及应用研究

王柳

摘 要：基于现金流的内部收益率计算是投资项目评估中的一个重要问题。利用高等数学方法提供了有限和无限现金流的内部收益率计算的统一、高效方法，并对不同类型的理财产品进行了分析。

关键词：内部收益率;高等数学;二分法

中图分类号：F23     文献标识码：A      doi：10.19311/j.cnki.1672-3198.2019.17.033

在财务管理中，内部收益率（Internal rate of return，IRR，又称内含收益率），是指满足

∑Tt=1Ct（1+r）t=C0

的r，其中Ct是t时刻流入的现金。

本文利用高等数学方法给出一种计算r的方法：二分法。

命

f（r）=∑Tt=1Ct（1+r）t

则问题等价于寻找r满足f（r）=C0.假设f（0）>C0，f（a）

x=0，y=0

取z=x+y2，如果f（z）=0，则r=z，停止;否则如果f（z）<0，则保持x不变，命y=z;如果f（z）>0，则保持y不变，命x=z。不断重复这个过程，由介值定理可以知道，z最终会无限趋近于r。

[例1]市场上有一种36年期理财产品，每购买10000元，接下来的36年每年可以领取500元，求该理财产品的内部收益率IRR。

[解]假设内部收益率IRR为r，则有

∑36t=1500（1+r）t=10000

利用等比数列求和公式有

g（r）=1-1（1+r）36-20r=0

有g（0）=0，g（1）=-19<0，下面用二分法求解。r

取z1=12（0+1）=12，g（z1）=-9<0;

取z2=12（0+z1）=14，g（z2）=-4<0;

取z3=12（0+z2）=18，g（z3）=-1.514<0;

取z4=12（0+z3）=116，g（z4）=-0.362<0;

取z5=12（0+z4）=132，g（z5）=0.044>0;

取z6=12（z4+z5）=164，g（z6）=-0.129<0;

取z7=12（z5+z6）=1128，g（z7）=-0.032<0;

取z8=12（z7+z8）=1256，g（z8）=0.008>0;

取z9=12（z8+z9）=1512，g（z9）=-0.011<0;

取z10=12=371024，g（z10）=-0.001<0;

所以r=z10=3.61%

高等数学中的无穷级数可以用来处理无限期现金流问题。

[例2]市场上有一种无限期理财产品，每购买10000元，第一年可領取100元，以后可领取的金额逐年递增200元（即第2年可领取100元，第3年可领取300元，依次类推），求该理财产品的内部收益率IRR。

[解]假设内部收益率IRR为r，则有

100∑∞k=1k（1+r）k=10000

命

f（x）=∑∞k=1kxk，x∈（0，1）

则

f（x）x=∑∞k=1kxk-1=ddx∑∞k=1xk=ddx1（1-x）=1（1-x）2

所以

f（x）=x（1-x）2

所以

11+r1+11+r2=1001+rr2=100

解得

r=2401-1=10.5%

参考文献

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