浅谈基于定积分极限定义的“微元法”

于娟+吴淑君

摘 要：定积分定义是一元函数积分学中一个非常重要的概念，其与一元函数的极限、不定积分等都有着密切的联系。“微元法”是一类应用定积分解决实际应用问题比较有效的数学方法。本文从定积分极限定义出发，分析并给出寻找待求量微元的一般方法，以加深初学者对微元法的理解。

关键词：定积分定义 微元法 基本思想

中图分类号：G642 文献标识码：A 文章编号：1672-1578（2017）05-0023-01

1 引言

从古希腊阿基米德的“穷竭法”、魏晋时期数学家刘徽的

“割圆术”，到17世纪德国天文学家开普勒的“行星运动三大定律”，再到牛顿—莱布尼兹微积分理论的初步确立，其基本思想方法均可归结为“分割，近似代替，求和，取极限”。在应用定积分解决实际问题时，若按定积分定义求解，则需要进行“分割，近似代替，求和，取极限”这四步，显然这种做法太过繁琐。因此，在处理实际的几何、物理、化学及经济学等问题时，往往把这个过程简化成一种比较简捷的数学方法——微元法。对于初学者来说，在用微元法解决实际问题时，往往仅仅是机械的模仿，而并未领会到微元法的核心思想所在。因此本文从定积分的极限定义式（特殊和式的极限）出发，分析如何给出待求量的微元。

2 基于定积分定义的微元法

由上述分析知，微元法是根据定积分的极限定义，把其过程简化抽出其本质，进而把所求量表示成定积分的一种简便方法。其思想是“化整为零”，先分析“微元”，再通过“微元”分析整体，也即“积零为整”。通俗地说就是把研究对象化分为无限多个无限小的部分，取其具有代表性的极小的一部分进行分析处理，再从局部到整体加以综合考虑的一种思维方法，在这个方法里充分体现了积分的思想。

微元法其实质仍然是一个特殊和式极限，只不过它简化了分割、近似代替、求和、取极限这种一般描述，而重点突出了用近似方法求微元，把求和与取极限的过程直接变为求定积分，所以用微元法解决实际问题更简便，应用范围也更广。而在具体用微元法解题时，首先要根据已知条件确定与待求量F有关的变量x的取值区间，然后在此区间上任取一个典型小区间[x，x+dx]，最关键是找到典型区间[x，x+dx]上部分量△F的近似值， 并设法表示为x的连续函数f（x）与dx的乘积。一般情况下，所求量的变化是非均匀连续变化的，但是在局部，在变化的一瞬间，可近似地把它看成是均匀连续变化的。因此，在实际应用中， 通过在子区间[x，x+dx]上把非均匀变化的量近似看成是均匀的， 这样以均匀代替不均匀，以不变代变，将所求得的值作为△F的近似值，也即作为F的微元。由此可知，应用微元法的关键是写出正确简便的微元表达式dF=f（x）dx。而在应用微元法解决问题时，人们往往忽视了近似代替量所需满足的条件， 即误差△F-f（x）dx应为△x的高阶无穷小，这是由函数微分的定義所决定。现在关键的问题是如何检验△F-f（x）dx是△x的高阶无穷小呢？我们可以采用下面的定理来验证。

（1）F对区间[a，b]有可加性；（2）对区间[a，b]上的任意子区间

[x，x+dx]有：mdx≤F[x，dx]≤Mdx， 其中m，M分别是f（x）在区间[x，x+dx]上的最大值和最小值。

这样，便可保证所找待求量F的微元是正确的，从而将待求量表示成一个定积分。

3 结语

微元法是用定积分解决实际应用问题的一种有效的数学方法，但在使用微元法时，要以整体为依托，不能随意取元。所取微元应具有所研究的整体对象的基本特征。

参考文献：

[1] 费祥历，亓健.高等数学（上册）[M].北京高等教育出版社，2015.8.

[2] 薛长峰.微元素法原理再探讨[J].盐城工学院学报：自然科学版，2007，20（4）：15-16.