高等数学“三合一”教学模式的探索与实践

周芳芹+刘健

摘 要：为了解决学生在高等数学学习过程中的学习困难问题，文章通过结合数学实验、数学建模等课程的教学，提出了高等数学“三合一”教学改革思路：概念形成体验课、数学辅助计算工具体验课、数学建模应用体验课“三合一”实践体验教学模式，加强学生对高等数学中微积分知识的了解，使得高等数学的课堂教学实现数学知识、数学应用、数学计算同时得以提升的效果。

关键词：高等数学；数学实验；数学建模

在工程技术领域中，不断涌现许多需要建立数学模型、再辅之以计算机计算软件才能得以解决的复杂问题。要解决这些问题，对工程人员的建模和计算机计算能力要求越来越高。对在今后的工程研究中起中坚作用的工科大学生而言，其必须具有较强的建模和计算机辅助计算能力，如果这方面的能力缺失，必然会限制其未来的发展空间。这些能力如何获得？很多高校都有了共识，在开设高等数学课程的前提下新增开了数学建模、数学实验两门独立课程，力求通过数学建模、数学实验课的开设来培养学生的数学应用意识、数学建模和计算能力。我们在教学实践中发现，独立开设这三门课程的教学效果很不理想，例如，学生在学习高等数学时，教师反复强调数学是基础、工具，但学生感受到的都是抽象概念；学习数学建模、数学实验课的时候，学生又发现不知如何运用数学知识解决实际问题。不仅如此，数学建模、数学实验课的教材难度较深，同时需要掌握相关软件的应用，使得学生对数学课程产生厌弃情绪。为了解决目前的教学困境，实现教育教学目标，培养学生具备运用现代技术解决实际问题的能力，在高等数学教学中探索“三合一”教学改革的思路，结合数学建模和数学实验，发挥数学建模、数学实验课程优势，开发通过合适的实验更好地理解高等数学的核心思想，使得高等数学教学能够提高学生数学计算、数学应用、使用数学计算软件的综合能力。

一、高等数学“三合一”教学模式

高等数学“三合一”教学模式主要是指在高等数学的教学过程中，设计一些有针对性的实验课内容，将数学建模、Matlab辅助求解融入高等数学教学中的教育教学中。它与传统的高等数学、数学建模、数学实验（Matlab操作）三门课独立教学完全不同，是将数学建模方法、Matlab辅助求解融入高等数学的教学中，旨在促进学生更加深入地理解数学思想内涵，简称“三合一”教学。

二、高等数学“三合一”教学的方案设计

为了将传统的高等数学、数学建模、数学实验三门课程的教学目标有机地融合在一起，使得学生能够更好地理解数学知识，增强数学应用意识，感受数学计算的便捷性，高等数学“三合一”教学模式主要侧重在原来的单一的理论课的讲授方式上再加入三种实验课形式：概念形成体验课、数学辅助计算工具体验课、数学建模应用体验课。

1.概念形成体验课

高等数学课程中的导数、定积分这两个概念就适合用体验式的学习方式，由于概念描述篇幅很长，思路较为烦琐，又涉及极限思想，所以普通教学模式下，学生学完后对导数和定积分的本质还是不清楚，而采用概念形成体验课就能让学生对概念表示的式子理解得更加深刻。例如，对定积分概念的描述，教材解释部分过长，經历分割、求近似、求和、取极限四个步骤才得到结果，而结果公式化也很抽象。为了更好地理解定积分概念，我们设计一个相应的概念体验实验课，在实验中，我们将事先编好的Matlab演示程序发给学生，让学生在操作改变的取值时，体验面积之和S=f（）△xi的动态变化，通过绘制表格，观察、体会定积分的概念的含义，并作图表示和S=f（）△xi与定积分f（x）dx的关系，从而加深领会定积分的定义。

实验的具体设计：

（1）实验目的：观察定积分概念的形成（以（x2+1）dx为例）。

（2）实验过程：首先要求学生写出等分割时（x2+1）dx的计算式；再完成表格，观察时，面积之和式f（）△xi的值的变化；再将面积之和式f（）△xi代表的几何意义表示出来，观察f（）△xi与（x2+1）dx的关系。通过以上步骤，学生可以得到：表示面积之和式值的阴影部分面积与表示定积分的曲边梯形面积无限接近。

（3）实验结论：首先根据实验过程总结定积分的概念形成过程，并写出定积分表达式；进而理解定积分的概念形成过程：分割→求近似→求和→取极限；即：f（x）dx=f（）△xi。

整个实验的设计意图就是让学生可以切实地从“数”和“形”两个方面体验定积分概念的形成过程，一方面通过计算获得面积之和的值，并观察值的变化，感受定积分概念的形成；另一方面通过改变分割小区间数目画出表示和式值的图形，观察数目变化时图形面积的变化趋势，感受定积分形成过程。通过具体的、亲身的体验，学生对抽象定义f（x）dx=f（）△xi就更容易理解并接受。

2.数学辅助计算工具体验课

一直以来，高等数学课程的教学给人的印象就是极限、导数、积分的计算技巧训练课，其中的运算烦琐且困难，很多学生就是在漫长的计算训练中慢慢失去对数学的兴趣和信心。数学辅助计算工具体验课是学生在完成基本概念和基本运算的学习后，到实验室体验数学软件的辅助计算功能，体验有了工具辅助后数学运算的便捷性。如在完成极限、导数、积分的概念与运算的学习后，推荐学生应用Matlab进行极限、导数、积分计算，利用Matlab可以非常快捷地得到结果，不需要考虑具体表达式的计算技巧。这样，学生就可以避免枯燥和烦琐的计算，节省出大量的精力和时间，以轻松心态了解极限、导数、积分的基本思想方法。

实验的具体设计：

（1）实验目的：熟悉Matlab中的求极限、导数、积分命令（limit，diff，Int）。

（2）实验内容：选取常见初等函数结合重要极限性质进行计算；对复合函数、隐函数求导；极值和最值问题；积分的换元、分部积分方法等。利用编程简化计算过程，熟悉常见指令的使用方法，从而实现利用Matlab帮助解决实际数学问题。

数学辅助计算工具体验课的设计意图是给学生提供一种快速进行微积分计算的新途径，节省计算的时间，把学生的学习重点引导到微积分的核心思想上。这种实验体验课所占课时较少，但是培养学生实践能力的效果突出。学生能够利用软件工具，掌握基本操作命令，熟悉编程的基本步骤，就可以实现辅助计算。

3.数学建模应用体验课

数学建模是数学应用的重要形式，主要通过实际背景提出问题、建立数学模型、应用适当方法求解问题的一系列过程，促进学生理解数学基础知识、提高综合应用能力。高等数学课程中导数的应用、积分的应用、微分方程等模块的内容就适合设计数学建模应用体验课，学生通过亲自动手，体验数学知识并结合实际生活，拉近抽象知識与现实的距离，将数学方法和思想深刻植入心中，影响深远。

数学建模应用体验课的具体设计以“椅子在地上能不能放稳？”建模练习为例：

（1）实验目的：了解建立实际问题的数学模型的一般过程；感受数学与现实的关系，体会学好微积分知识的重要性。

（2）问题导入：在日常生活中有这样的现象：椅子放在不平的地面上，通常只有三只脚着地，然而只需稍微挪动几次，一般都可以使四只脚同时着地，建模说明此种现象。

（3）建立数学模型：模型假设、建立模型、模型求解、评注和思考。经过假设，将生活中椅子四脚着地问题抽象为数学问题，即验证满足条件：f（θ），g（θ）连续；，f（θ）·g（θ）=0；且g（0）=0，f（0）﹥0时，一定θ0，使得f（θ0）=g（θ0）=0。

模型的求解即用连续函数的基本性质（零点定理）证明上面的数学问题。

（4）实验总结：感受零点定理在实际生活中的应用，学习数学建模的方法。

数学建模应用体验课的设计意图：主要是通过从实际问题到数学问题的抽象、求解，再回到解释说明实际现象的思维过程体验，使得学生对数学知识的本质认识得更加深刻、形象，原来课程中枯燥无趣的数学定理、计算方法，有了对应思维数学模型后，变得生动立体，学生理解和记忆就变得简单。有时在求解数学模型的过程中还要借助数学软件计算才能很好地计算出结果，这也锻炼了学生的计算机计算能力。

三、结语

三种体验课：概念形成体验课、数学辅助计算工具体验课、数学建模应用体验课是配合理论课的学习而设计的，其设计的具体教学过程的最终目的是希望学生更好地理解数学的基本理论知识，体会数学的应用价值，提高利用计算机进行辅助探究的综合能力。通过进行数学实验的体验，使得抽象的数学概念公式具体化；数学辅助计算工具体验课通过数学软件的辅助，快速地进行微积分运算，使得烦琐的数学运算变得轻松愉快；数学建模应用体验课通过构建数学模型的练习，让学生所学的知识踏实落地，使数学与现实水乳交融。总之，所有的体验都是为了让学生从传统的数学学习的“记、背、算”的模式解脱出来，真切地领会数学的核心思想方法，直接感悟数学的深邃理论，使学生最终获得持续永久的数学思维能力，并且通过数学实验的体验操作，提升学生参与数学课堂的热情，激发学生对高等数学的学习兴趣。

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（作者单位：衢州学院）