培养数感应注意的四个问题

杜紫红

什么是数感？从字面上来理解，就像乐感、空间感那样，可以理解为人们对数与运算的感觉。数感的建立使人们遇到一些具体问题时，能透过繁杂的现象，简化思考过程，自然地或有意识地用数学的观点和方法来处理和解释现实问题。但是，数感并不是数学学习中的一个公式或一种观念，有时教师没能意识到数感培养的重要性。因此，本文从四个方面进行论述，谈数感培养特别需要注意的四个问题。

一、积累数感——强化感知

培养学生的数感就是要让学生感知周围的世界具有量化的意味，要让学生更多地接触和理解现实生活，加强学生对各种数学知识的生活感知，使学生获得鲜明的知觉形象，积累相关知识的丰富外延，深入理解数学知识的内涵，进而抽象出各种数学知识。但是，实际教学中，有些教师忽视引导学生对概念的具体感知，满足于学生会回答、会解题，这样，在看似提高效率的同时，失却了学生对基本数感的积累。

例如，大部分学生在入学前对5以内各数已经有了一定的认识，因此有些教师教学时只是关注学生是否会认读写1～5各数，这样会使得学生的数学学习只是停留在操练层面上。实际上，数字的基数含义是对实物进行分类，把每一类看作一个集合，然后依次使集合中的每一个元素分别同自然数中的1、2、3……一一对应，最后一个元素所对应的自然数就是这个集合中元素的个数，也就是物体的总数。如何让一年级的学生理解这么“晦涩”的含义呢？教学时应注意什么呢？这就要求教师强化生活感知教学，给学生呈现多样的数数对象，让学生经历从具体实物中抽象出数字的过程，丰富学生的认知表象，为建立学生的数感打基础。

如认识1时，让学生懂得数的对象都是在一个“圈”内，即在一定范围；认识2时数河马，引导学生意识到河马有大有小，数数时不分大小；认识3时数长颈鹿，可以用長颈鹿的头来代替，即数数时可以用部分表示整体；认识5时，引导学生数天空中有几个物体，图中有几个人，使其意识到“不同类”的物体可以放在一定的范围内计数。在这一基础上，让学生举例5可以表示什么，从一些给定的对象中找到5。

这样，通过一个个具体情境抽象出数字，并调动学生的生活经验，引导学生多角度寻找数学原型，拓展了数字的外延，同时在抽象数字的过程中对用数字表示物体个数的内涵进行了逐层深入的认识，帮助学生形成数感。

数概念本身是抽象的，学生从整数中认识完整的个数，逐渐拓展到分数、小数等，这些数概念的建立，依托于一个个具体可感的现实背景，只有将这些数概念与它们所表示的实际含义建立起联系，不断地感知与体验数的具体数量，学生才有可能真正理解数，在繁杂的客观现实中把握数的应用，从而建立数感。

二、建立数感——重视体验

“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”数感看不见、摸不着，学生经历丰富的活动，才能形成自己的体验，更好地发展数感。但是，这样的体验，需要教师创设许多的时间、空间，有时还会造成课堂上无法按时完成相应的教学内容。因此，实际上课中，有的教师以介绍代替活动，以讲授代替体验。

例如，教学《秒的认识》时，有的教师以认识钟面为主要教学内容，满足于学生知道时针走一大格是一小时，分钟走一小格是一分钟，会看钟面说出时刻，而将学生1秒、1分的体验以作业的方式布置学生回家完成。殊不知，这样看似节约课堂时间的行为，却可能扼杀学生对时间的感悟。教学初，“秒”这个词学生在生活中就经常碰到，但是对于很多学生来说，这个词可能只是一个无明显意义的时间概念，学生对秒所代表的时间长度并没有深刻理解；教学中，时间长短的体验、估测是学生学习的重要内容。而重视体验的教学又可以怎样设计呢？

首先，体验5秒。请学生们选择自己喜欢的方法，如点头、拍手、数数……感受5秒的时间。在这一过程中，秒针伴随声音走动，引导学生感受体验1秒的节奏。其次，体验10秒（前5秒有秒针走动的声音，后5秒是静音）。学生们闭上眼睛感觉有声音的5秒，当声音关掉时，大家用自己的方法感觉剩下的5秒，感觉10秒的时间，认为时间到了就举手。活动之后，交流、提炼方法：我们可以用和秒针走的节奏差不多的动作、声音来估测一秒的时间，如数数、点头、拍手等方法。最后，估测系红领巾的时间，引导学生应用刚刚学过的方法计量1秒，有节奏地估测系红领巾的时间。

这样，通过“扶—半扶—放”的三个阶段，学生反复看秒针走动，听、说秒针走动的声音，伴随钟面秒针的走动点头、拍手、数数，说、演、动手，体验“秒”的时间长度。这样，“秒”的认识有了具体而鲜明的情境支撑，当再次碰到“秒”的时候，学生能够与数数、眨眼、拍手等具体操作联系在一起，逐步熟练、自觉准确地运用自己的方法去感觉时间、计量时间、体验时间，从而达到内化，提高对时间的估测能力。其实，像时间、重量、长度等这些量的知识，看似简单，但是，往往需要提供学生大量的活动，让学生经历丰富的体验，形成相应的认识。

引导学生在活动中学习数学，亲身感受数学、经历数学是建立学生数感的有效方式之一。因为抽象性、概括性和逻辑性是数学知识具有的本质特点，抽象的知识要内化为学生可感、可接受的内容，就必须借助“物化”的过程，将数学知识概念与学生的经验及知识的背景联系起来，引导学生进行具体实践活动，不断地动手、动口、动脑，多种感官参与学习，能引导学生更深层次地理解和感悟数学知识，建立数感。

三、提升数感——加强对比

对比是一切理解和思维的基础，人类正是通过对比来了解世界的一切的。小学数学的教学内容既有联系又有区别，教师在教学中充分运用对比的方法，有助于学生接受新知识，深化对新知的认识，提高辨别能力，从而提升学生的数感。而有时一个小小对比环节的失却，会使得原本丰满而精彩的一节课顿时索然无味。

例如，《分数的意义》是五年级的教学内容，有的教师这么教学：学生依赖于动手实践和实例，知道了把一个苹果平均分成4份，其中的一份占这个苹果的，把一筐苹果平均分成4份，其中的一份占这筐苹果的。这时，教师便引导学生进行总结：一个物体、一些物体都可以看作单位“1”，“把单位1平均分成若干份，表示这样的一份或几份可以用分数表示”，接着，引导学生进行练习，学生完成练习的正确率也挺高。教学很顺畅，学生看起来也都掌握了，但实际上，缺乏对分数实质的深入思考，学生对分数意义的理解是肤浅的，无法形成关于分数真正的认知。在这里，引导学生进行对比就显得很重要。在学生初步概括出分数的意义后，教师引发学生针对两个问题进行比较思考：①为什么单位“1”不一样，都可以用表示？②都是一份，为什么个数会不同？在问题所引发的两次比较中，包含着教师的暗示与启发，学生从具体实例的观察比较中抽象出单位“1”， 明白了一个分数的表示关键看两个要素：首先，看单位“1”平均分成几份；其次，看取其中的几份。这样，学生思考问题时才会摆脱对具体实物的依赖。而“都是一份，为什么个数不同”？因为单位 “1”的数量多少影响着每一份的大小。以问题激发思考，为学生深入理解分数意义打开了一扇智慧之门，学生在比较思辨中提升数感。

四、完善数感——回归应用

学习数学不是单纯地为了计算，更多是为了解决现实问题，就像荷兰数学家弗赖登塔尔说的那样：“数学源于现实，寓于现实，用于现实。”那么，在学生数感的完善中，教师要如何引导学生再现和理解现实问题，将现实问题与数量关系建立起联系，用数学的方法和数学的观点处理现实问题？笔者认为，教师创设一定的现实情境，引导学生经历数学问题的抽象、建模的过程，使学生在头脑中形成与具体事物相联系的数学模型，才能更好地完善学生的数感。

如学习《有余数的除法》，孤立地以除法竖式引入，学生也能掌握有余数除法的计算，但是却缺乏现实意义的体会。教学中教师可以创设这样的情境： 36个人要过河，每条船最多可乘7人，至少需要几条船？怎样乘船才合理？这个问题不是简单地计算36÷7=5……1就可以解决的，学生必须了解除法算式中每一部分的意义，进一步理解商5和余下的1各是什么意思。如果5条船上都坐满7个人就是35人，还剩1个人也需要1条船，因此需要6条船。那怎样乘船才合理？学生可以根据自己的认识，给出认为合适的方法。学生在生活实践的背景中解决问题，既能不断完善对原有知识的理解与认识，又能体会到数学的应用价值，增强数感。

另外，在实际的问题情境中，很多时候并不需要进行精确计算，只要估算就能顺利地解决问题，因此，教师教学时应重视引导学生增强估算意识，掌握估算的方法。比如四舍五入法，估算8.98×4.1，可以看因数接近整数几，8.98接近9，4.1接近4，所以积在36左右。教师在教学中要善于抓住各种有利时机，让学生估算并交流，增强估算意识。通过教师不断设置估算情境，学生将估算内化为一种自觉、自主的意识，进而形成一种习惯，在不断估算中发展自己的数感。

五、结语

数感的形成是一个漫长的过程，要在感知中积累，在体验中建立，在对比中发展，在实践中完善，经过一系列有序的渗透和强化，逐步形成。培养数感不在于教给学生多少“规范”的数学题，而要引导学生从现實背景中“看到”数学，能数学地思考。教学中教师创设学习情境，充分地将现实问题与学习内容联系起来，把学习活动置于丰富的问题情境中进行，从而使学生在学习过程中不断体验“学习有用的数学”，而这正是形成数感的前提。学生在学习的过程中更多地接触和经历数学化的过程，不断内化认识，从而产生对数学学习的深刻的理解，充实自己的认识结构，才能真正发展数感。

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