两类建模问题的实例

王伟珠

摘要：数学建模是很多领域应用的需要.在现实问题中，我们可以用不同的数学方法去考虑建模问题。据此，将通过最小二乘法和线性函数回归分析这两类方式探讨建模问题，通过实例方式分析。

关键词：数学；模型；举例

中图分类号：0172.1G4文献标识码：Adoi：10.19311/j.cnki.16723198.2017.28.083

数学模型解决实际问题是数学应用的充分体现。在模型的建立及其求解过程中， 必须要了解以下几点：

其一，根据特定的现象去建立的数学化模型实际上是理想化的数学模型， 所以并不是真正的精确表。

其二，能用来体现实际问题的数学模型多数都是比较复杂的， 如果从实际的应用角度来看， 我们大可不必追求数学模型的完全精确的解。

其三，要求当代大学生能够掌握一种或是几种数学软件用于解决某些领域的实际问题已成为必然。

1最小二乘法

数理统计中常用到回归分析，也就是根据实际测量得到的一组数据来找出变量间的函数关系的近似表达式。通常把这样得到的函数的近似表达式叫作经验公式，这是一种广泛采用的数据处理方法。经验公式建立后，就可以把生产或实践中所积累的某些经验提高到理论上加以分析，并由此作出某些预测。 下面我们通过实例来介绍一种常用的建立经验公式的方法。

例1为测量某工具的磨损消耗速度，实行每间隔一小时就测定一次工具的厚度，表1便是得到的一些实际测量数据。

能否根据上组数据建立出厚度y与时间t之间的经验公式y=f（t）。

分析观察以上数据，不难看出所求经验函数y=f（t）与线性函数类似，于是可以设函数为f（t）=at+b，这里a和b可以看成待定的常数，但由于以上的这些所有点并不是完全在同一条直线上，所以希望其偏差yi-f（ti）（i=0，1，2，…，7）越小越好。为了使每个偏差都能很小，可考虑如何选取常数a，b，使表达式M=∑7i=0[yi-（ati+b）]2最小。这种确定常数a，b的方法（使偏差的平方和达到最小的）通常称之为最小二乘法。

分析上述例子：如何正确选取常数a，b，使表达式M=∑7i=0[yi-（ati+b）]2最小。如把表达式M看成一个含有两个变量的函数，此问题已然可视为求此函数M=M（a，b）在已有点处的最小值。可令

Ma=-2∑7i=0[yi-（ati+b）]ti=0Mb=-2∑7i=0[yi-（ati+b）]=0，

即∑7i=0[yi-（ati+b）]ti=0∑7i=0[yi-（ati+b）]=0

整理得a∑7i=1t2i+b∑7i=1ti=∑7i=1yiti

a∑7i=1ti+8b=∑7i=1yi（1）

计算，得∑7i=1ti=28，∑7i=1t2i=140，∑7i=1yi=208.5，∑7i=1yiti=717.0.

代入（1），得140a+28b=71728a+8b=208.5a=-0.3036，b=27.125

于是，所求经验公式为y=f（t）=-0.3036t+27.125（2）

根据上面式子计算出的f（ti）与实际测得的yi存在一定的误差，如表2。

于是得到偏差的平方和M=0.128665，其算术平方根M=0.359.我们通常把M叫作均方误差，均方误差的大小某些程度上反映的是用经验公式近似表达原来函数好坏的程度。

2线性函数回归分析

我们通常可以按下面四步进行回归分析：

（1）考虑把实际的问题数量化，确定两个变量，分别为因变量和自变量；

（2）根据已有的数据作出散点图，并大致地确定需拟合数据的函数关系类型；

（3）再通过应用软件的计算，能够得到所求函数关系的模型；

（4）最后利用由回归分析所构建的近似的函数关系去预测变量指定点处的函数值。

例2为确定我国邮政信件资费与时间的关系，通过调查得到表3的一些数据。

试建立一个邮递费用和时间的函数关系模型，并检验模型确定合理后，再使用这个模型预测2020年的邮递资费。

解（1）先确定两个变量，再数量化。假设第一年1986年为0，并用变量x和变量y分别表示相应的年份及邮资，可得表4。

通过上图观察可知，函数关系近似于线性关系。设y与x之间的函数关系为

y=ax+b（a，b为常数）

（3）通过Excel可计算得到待定系数a，b的值为

a=0.9618，b=5.898

從而得到回归直线为

y=5.898+0.9618x

（4）添加散点图中上面所确定的回归直线y=5898+0.9618x，如图2。

可见该直线模型y=5.898+0.9618x与原散点图拟合的程度很高，说明此模型是线性模型非常合理。

（5）预测未来2020年的资费标准，即变量x=34时，变量y的取值.不难由拟合图可知x=34时y≈39。即未来2020年的资费标准大概为39分。

事实上，将x=34直接代入回归直线方程y=5898+0.9618x，也可得y≈39。

上例回归的问题就是线性回归问题，也算是较简单的回归问题分析，但这类问题在实际生活中却具有非常广泛的应用价值。

参考文献

[1]刘书田，葛振三. 经济数学基础（一）微积分[M].北京：世界图书出版公司，2002.

[2]吴赣昌. 微积分（下册）[M].北京：中国人民大学出版社，2013.endprint