创新题应用的案例研究

沈永平

[摘要] 在数学课堂教学中,要落实数学教学课程标准提出的“注重指导学生学会自行获取知识”的教学要求,促使学生积极主动地独立思考、发现问题,提出问题和解决问题。笔者从四个领域:数与式、方程(组)、不等式(组)、函数,对创新题应用的案例进行研究。

[关键词] 课堂 思维 案例 方法

在数学课堂教学中,要落实数学教学课程标准提出的“注重指导学生学会自行获取知识”的教学要求,促使学生积极主动地独立思考、发现问题,提出问题和解决问题。本文,笔者针对怎样培养学生解决创新题的能力进行论述。

一、在数与式中的应用,激发学生的求知欲望

案例1:据国家税务总局通知,从2007年1月1日起,个人年所得12万元(含12万元)以上的个人需办理自行纳税申报。李海和王亮分别经营海产品,李海2006年经营海产品3次,分别获得收益7万元、3.5万元、-6万元;王亮2006年经营海产品5次,分别获得收益-3万元、2.5万元、-5万元、0.5万元、4万元。另外,李海和王亮分别在一家海产品公司技术员,李海2006年所得工资9万元,王亮2006年所得工资8万元。现请你判断:李海、王亮在2006年的个人年所得是否需要向有关税务部门办理自行纳税申报并说明理由。

分析:分别算出李海和王亮两人的个人年所得是解答本案例的关键。根据所提供的公式很容易求解,但要注意计算的准确性。

解:李海需办理自行纳税申报,王亮不需办理自行纳税申报。理由如下:设李海海产品经营总收益为x万元,王亮海产品经营总收益为y万元,李海个人年所得为w1万元,王亮个人年所得为w2万元。

则x=7+3.5-6=4.5,y=-3+2.5-5+0.5+4=-1<0。

∴w1=9+4.5=13.5(万元)

w2=8+0=8(万元)

∵w1=13.5万元>12万元,w2=8万元<12万元

∴根据规定李海需办理自行纳税申报,王亮不需办理自行纳税申报。

评注:学习的目的在于应用,与有理数、实数有关的实际应用题在中考中占有的地位越来越重,这类题目密切联系实际,不需要高深的数学知识,但对同学们分析问题、解决问题的能力提出了较高要求。

二、在方程(组)中的应用,培养实际应用能力

案例2:某农场在夏季计划要收割7200亩小麦,后来由于接到气象部门雨情通知,场长决定收割总量比原计划增加20%,且必须提前4天完成收割任务,该厂迅速加派人员组织收割,实际每天比原计划每天多收割720亩,请问该厂实际每天收割多少亩?

分析:本案例以农场夏季收割小麦为背景,设计一个实际应用问题。

解:设实际需要x天完成生产任务,根据题意得:7200(1+20℅)/x-7200/(x+4)=7200

化简得:12/x-10/(x+4)=1,

12(x+4)-10x=x(x+4)

整理得x2+2x-48=0

解之得:x1=6,x2=-8(不合题意,舍去)

7200(1+20℅)/6=1440(顶)

故该厂实际每天生产帐篷1440顶。

评注:本案例是一个实际应用问题,首先要求学生分清题意,设定合适的未知数,找出相等关系,建立方程模型,特别注意在检验时不但要检验结果是否是方程的解,而且还要验证结果是否符合问题的实际情况。

三、在不等式(组)中的应用,增强信息整合能力

案例3:A县和B县分别有某种家电下乡库存产品12台和6台,现决定运往C乡10台、D乡8台。已知从A县调运一台产品到C乡和D乡的运费分别是40元和80元,从B县调运一台产品到C乡和D乡的运费分别是30元和50元。

(1)设B县运往C乡家电下乡产品x台,求总运费W关于x的函数关系式。

(2)若要总运费不超过900元,共有几种方案?

(3)求出运费最低的调运方案,最低运费是多少元?

分析:本案例实际上是一个函数与不等式应用题,题目中隐含着函数关系、不等关系,需要建立数学模型,即设B县运往C乡家电下乡产品x台,则运往D乡为(6-x)台;A县运往C乡家电下乡产品(10-x)台,运往D乡为[8-(6-x)]台,然后根据题意列出函数关系式,从而探索到解题方法。

解:(1)设B县运往C乡家电下乡产品x台,则运往D乡为(6-x)台;A县运往C乡家电下乡产品(10-x)台,运往D乡为[8-(6-x)]台,根据题意得:

W=40(10-x)+80[8-(6-x)]+30x+50(6-x)=20x+860

∴ W=20x+860

(2)∵W=20x+860≤900

解之得:x≤2

∴ 这就说明此题当x=0,1,2时,有三种方案。

(3)当x=0时,总运费最低。

即总费用最低的调运方案为:从A县调运10台家电下乡产品给C乡,2台家电下乡产品给D乡,B县调运6台家电下乡产品给D乡,最低费用为860元。

评注:本案例属简单的规划类问题,要求学生遇到这类问题时,要特别注意生活中的数量关系往往受到多方面的条件制约,同时,要依据题给已知条件建立数学模型,难度层次较高,因此联系实际的数学问题往往题目长、信息多、数据杂,需要仔细、认真地对所给的数据加以分类整理。引导学生通过建立函数、不等式,求得最优方案。

四、在函数中的应用,培养解决问题能力

案例4:某校勤工俭学小组从书店按每本1.2元购进笔记本,并按每本3元卖出。(1)求同学们卖出笔记本的销售额y(元)与销售量x(本)之间的函数关系式;

(2)若从书店购买笔记本的同时,还用去运输和其它费用共40元,求勤工俭学总金额w(元)与销售量x(本)之间的函数关系式;若要勤工俭学总金额不少于500元的,则至少要卖出笔记本多少本(勤工俭学总金额=销售额-成本)

分析:(1)根据销售额=单价×销售量的关系可直接列出函数关系式。(2)列关系式时要注意成本分两块:一块进货成本每本1.2元,则x本的成本为1.2x元;再有用去运输和其它费用共40元。

解:(1)y=3x

(2)w=3x-1.2x-40=1.8x-40。

∴勤工俭学总金额w(元)与销售量x(本)之间的函数关系式为w=1.8x-40。

解法1:当w≥500时,1.8x-40≥500,解得x≥300

∴若要勤工俭学总金额不少于500元,至少要售出笔记本300本。

解法2:由1.8x-40=500,解之得x=300,∵w=1.8x-40中1.8>0,∴w随x的增大而增大,∴若要勤工俭学总金额不少于500元,至少要售出笔记本300本。

评注:本案例在读懂题目中,要把握数量关系是正确列出函数关系式的关键,因此,今后学习中要特别注意。

总之,在课堂教学中,教者要激发学生灵感,要精心组织探究活动,悉心引导,帮助学生仔细分析,亲历探究,寻求解题规律,创造一个让学生展示才华的平台,更让课堂成为发展学能力的摇篮。

参考文献:

[1]教育部.数学课程标准.北京师范大学出版社,2004.

[2][美]詹姆斯•杜布森.让孩子自信过一生.新华出版社,2003.