数学期望概念的教学方法研究

时间：2024-06-03

【摘要】数学期望的概念是比较抽象的，本文通过与现实生活紧密结合的两个例子来引入数学期望的定义，给出离散型、连续型随机变量期望的概念，最后以例题讲解的方法加以巩固。

【关键词】数学期望;随机变量;绝对收敛

【中图分类号】G62.03 【文献标识码】A

【文章编号】2095-3089（2019）15-0228-01

一、概念的引入

对一个新的知识而言，引入是关键的。在讲解数学期望的定义时，我们没有直接给出概念，而是通过两个适当的例子，通过对例题的讲解来引导学生理解概念。

例1.甲乙两人赌技相当，各出50元赌金，约定先胜三局者为胜，胜者可得100元。由于出现意外状况，在甲胜2局乙胜1局时，不得不终止赌博，现在该如何分配赌金才算公平呢？

首先，我们引导学生思考，如果继续赌2局，会有什么样的结果呢？会有以下四种情况：

甲甲甲乙乙甲乙乙

在前三种结果中，都是甲获胜。也就是说，在赌技相同的情况下，甲、乙最终获胜的可能性大小为3：1。

即甲获得的平均赌金为：100×34+0×14=75

乙获得的平均赌金为：100×14+0×34=25

因此，为了公平，应该是甲获得75元，乙获得25元。

例2.想要了解某一代表性人群的平均年龄，对某校某专业20名研究生年龄统计如下，求其平均年龄。

〖HTSS〗〖BG（！〗〖BHDFG1*2，FK4，K4。4，K4F〗

年龄〖〗20〖〗21〖〗22〖〗23〖〗24

〖BHD〗人數〖〗1〖〗2〖〗8〖〗3〖〗6〖BG）F〗

通过提问“如何计算平均年龄x呢”，引导学生思考，增加学生的好奇心。

x=20×1+21×2+22×8+23×3+24×6〖〗20

=20×1〖〗20+21×2〖〗20+22×8〖〗20+23×3〖〗20+24×6〖〗20

=22.55

即对一组给定的数值x1，x2，…，xn，如果在n次观测中出现的频率分别为f1，f2，…fn，其平均值为

x=x1f1+x2f2+…+xnfn=∑〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗xifi

当n充分大时，频率fi在一定意义收敛于概率pi，因此，数学期望为x=∑〖DD（〗n〖〗i=1〖DD）〗xiPi

从以上两个例子中，可以看出，数学期望实质上是简单算术平均值的一种推广，是理论上的平均值。

二、概念的理解

由上述的例子，引出了离散型数学期望的定义：

设X是离散型随机变量，它的分布律为P{X=xk}=pk，k=1，2，…，如果级数∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗xkpk绝对收敛，则称此级数的和为X的数学期望，记为E（X）=∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗xkpk。

在此定义中，绝对收敛指的是级数∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗|xk|pk是收敛的，即级数改变项的次序后得到的新级数仍是绝对收敛的，级数的和不变。因为数学期望是一个数，不能因为级数的改变项的次序后和就发生改变。反之，如果∑〖DD（〗∞〖〗k=1〖DD）〗xkpk不是绝对收敛，则期望不存在。数学期望反映的是随机变量取值的平均程度。

设X是连续型随机变量，它的概率密度函数为f（x），如果积分绝对收敛，则称此积分为X的数学期望，记为E（X）=∫+∞-∞xf（x）dx。

此定义可理解为：对连续型随机变量X来说，X落在x这一点，长度为dx的区间的概率近似为f（x）dx，由微元法，将量xf（x）dx求和取极限，就得到连续型随机变量X的数学期望的定义。因此，连续型随机变量数学期望的定义是离散型随机变量数学期望的自然延伸。

三、数学期望的求法

面对一个具体的问题，如何求数学期望呢？通过一个具体的例子来加以说明。

例3.从数字1，2，…，n中任取两个不同的数字，求这两个数字之差的绝对值的数学期望。

引导学生进行分析，要求离散型随机变量的数学期望，必须要求离散型随机变量的分布律，因此，我们考虑取出的两个数字之差绝对值的所有可能的取值及取相应值的概率。

令X为取出的两个数字之差绝对值，则X所有可能的取值为1，2，…，n-1，

P{X=k}=n-k〖〗C2n，k=1，2，…，n-1

则E（X）=∑〖DD（〗n-1〖〗k=1〖DD）〗kn-k〖〗C2n=n+1〖〗3

四、结束语

在本内容的讲授中，通过赌金分配问题和某专业研究生的平均年龄两个具体的例子引出数学期望的定义，很好地抓住了学生的眼球，引起学生的高度兴趣，也让学生充分了解随机变量数学期望产生的背景，了解到数学期望是在解决实际问题中产生的，并通过提问和交流让学生真正理解数学期望的概念。

参考文献