数学建模思想在高等数学中的应用探索

周萌 王知力

【摘要】高等数学课程属于高等院校普遍开设的公共基础必修课，而数学建模是高等数学理论与应用之间的桥梁，在高等数学的学习过程中融入数学建模的思想不仅能提高学生的学习效率，还能有效增强高等学校学生的核心素质。本文阐述了高等数学课程中引入数学建模的必要性重要性，结合实际情况来探讨数学建模在高等数学教学过程中的应用。

【关键词】高等数学 数学建模 数学模型

【中图分类号】G642；O13-4 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2018）35-0089-01

引言

高等数学课程属于高等院校普遍开设的公共基础必修课，对于机械类、财经类、管理类专业的学生，学习好高等数学课程，以为后续其它基础课程打下基础，但是，高等数学又是一门具有抽象思维特别强的学科，这就需要老师在讲授的过程中能够把抽象的概念具体化，复杂的问题简单化。数学建模作为一个工具手段刚好解决了这一难题，在教学过程中引入数学建模的思想能够帮助学生提升发现问题、分析问题和解决问题的能力。

一、数学建模在高等数学教学过程中的重要性

传统的高等数学教学是以逻辑关系为主体，内容紧凑，环环相扣的。这一过程过多的注重了知识结构体系的完整性和严谨性，但是对于学生的积极性和主动性关注度降低，这一现状使得学生对于高等数学的学习缺乏兴趣，理解不够充分，影响学生的学习热情。数学建模主要是面向实际问题，弄清楚实际问题蕴含的内在数学关系，进而将实际问题转化为数学问题，进而建立数学模型，而数学模型的建立是以数学中的定义、定理为基础的。因此数学建模是一座桥梁，它将抽象问题和实际问题之间建立了有效联系，这样既能体现出数学的实际意义，也能让学生感受到学以致用，效果立竿见影。消除数学枯燥无味，无用的消极思想。因此数学建模是改善高等数学教学的有力工具。

二、数学建模过程与步骤

数学建模就是根据实际问题来建立数学模型，对数学模型来进行求解，然后根据结果去解决实际问题。当需要从定量的角度分析和研究一个实际问题时，我们就需要在深入调查研究、了解对象信息、作出简化假设、分析内在规律等工作的基础上，用数学的符号和语言作表述来建立数学模型。

数学建模的过程一般分为以下几个步骤：

（1）模型准备

了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。以数学思想和数学思路贯穿问题的全过程，进而用数学语言来描述问题。整个描述过程要求符合数学理论，符合数学习惯，条理清楚。

（2）数学建模模型假设

根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设。

（3）数学建模模型建立

在假设的基础上，利用适当的数学工具来刻划各变量常量之间的数学关系，建立相应的数学结构。

（4）数学建模模型求解

利用获取的数据资料，对模型的所有参数做出计算（或近似计算）。

（5）数学建模模型分析

对所要建立模型的思路进行阐述，对所得的结果进行数学上的分析。

（6）数学建模模型检验

将模型分析结果与实际情形进行比较，以此来验证模型的准确性、合理性和适用性。如果模型与实际较吻合，则要对计算结果给出其实际含义，并进行解释。如果模型与实际吻合较差，则应该修改假设，再次重复建模过程。

三、 数学建模与高等数学教学相结合

数学建模的过程应该融入高等数学的授课过程中，比如双层玻璃窗的功效问题，雨中行走的策略问题等一些和现实联系比较紧密的案例，这样的问题既能激发学生的学习热情和求知欲望，开阔学生视野，另外在一些抽象概念的讲授过程中可以加入数学建模的具体案例，使学生能更具象的理解抽象概念。比如在导数的讲解过程中，建立位置随时间的变化，即位移相对于时间的变化率。这就是一个简单的数学模型，帮助学生深刻理解导数的实际意义是变化率的问题。又如在讨论函数的极值、最值部分引入“森林救火问题”；常微分方程中除了解决一些物理和几何问题还能建立一些生物增长模型和传染病模型。

模型一：椅子在不平的地面上能放稳吗？

在零点定理这一节的讲课过程中可以把“椅子放平”的问题提出来，引导学生把现实生活中的具体事例转化成数学问题，进而建立模型解决问题。转化过程如下：已知，是闭区间上的连续函数，对任意给定的我们有并且，，则证明至少存在一点，使。

模型二：鱼塘体积和平均水深的问题。

在重积分这一节的讲课过程中可以把“鱼塘体积和平均水深”的问题提出来，一方面可以使充分吸引学生的注意力，另一方面可以学生们对这一抽象的概念建立更直观的印象。具体转化过程如下：假定鱼塘的边界为椭圆，最大水深为，则得到下面函数，其中，现在要求鱼塘的体积V和平均水深h。

模型三：刑事侦察中死亡时间的鉴定模型。

在微分方程这一章节的讲授过程中可以引入这个例子，对例子做简要分析并做如下假设1.假设尸体的温度按牛顿冷却定律开始下降。2.尸体初始温度为37度，两个小时以后温度为35度，周围温度保持20度不变。3.尸体被发现使温度为30度，时间是上午十点。假设尸体温度为，时间为，则可得微分方程，初始条件。

四、结语

数学是一门自然科学，数学概念本身就来源于生活，是为了解决客观事物之间的数量关系而发展起来的一门科学，因此数学概念必然对应着某实际问题。在讲解概念时应该选取身边较为熟悉的生活问题，一步步抽象出数学概念，在此过程中提高了学生的分析问题和解决实际问题的能力。最后学生不仅能掌握高等数学理论知识，还能真切的体会到高等数学与我们的生活息息相关。既巩固了理论知识，又达到了理论知识与实际的良性循环。

参考文献：

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