浅析数形结合方法在高中数学教学中的应用

韦技良

【摘要】数形结合是数学中的一类数学思想，也是一种数学方法，其既可以在教学中发挥作用，也可以在学习上形成助推。本文针对数形结合的基本概念作了简单分析，然后从高中数学的角度切入，分析了数形结合方法所能发挥的作用以及其应用的基本原则，最后结合实例剖析了数形结合方法在高中数学教学中的具体应用，希望可以对高中数学教师起到一定的参考作用。

【关键词】数形结合 高中数学 作用 原则 应用

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）21-0077-02

数学是高中阶段一门非常难的科目，对于学生而言，学习起来比较吃力，很多学生表示数学最难。根据很多教师的反馈，数学科目教学活动也比较吃力，而且效果往往不佳。究其原因，主要是因为教学模式比较抽象刻板，学生理解起来存在阻碍，不能有效明确教师所讲内容。因此，有教师提出了将数形结合方法运用到教学中的思想，通过实践运用，该方法对于高中数学教学活动表现出了有效的助推作用。因此，下文就对其展开了深入的研究。

一、数形结合方法的概念内涵

鉴于数字和图形可以实现相互转化，由此归纳总结得出了数形结合这一数学思想。具体说来，属性结合指的是将数字和图形结合起来，作为一个整体对待，由此对相关问题进行深入分析和理解。在实际运用中，数形结合方法可以分为两种形式，一种是以形助数，即通过图形对数字方面的问题进行求解；另一种是以数解形，即通过数字对图形进行求解。这两种形式，也是在教学活动中最常用的手段。

二、数形结合在高中数学教学中的作用和应用原则

（一）作用

高中数学涉及到的知识内容较广，这个数形结合方法的应用提供的广阔的空间。具体说来，在集合问题上，经常使用Venn图或是数轴等图像，对集合汇总的补集、交集、并集等问题进行求解，由此简化单纯数字问题的复杂关系。在方程与不等式的问题上，往往涉及到根、交点等要素，结合图像对交点、增减趋势进行判断，可以比较简便的解答问题。在三角函数上，往往涉及到三角函数值大小、单调区间等问题，通过三角函数图像或是单位圆，可以简化求解流程。而在解析几何、立体几何等方面，面对点、线、面等图形关系，可以利用单穿的代数运算解决问题，方便快捷。

（二）应用原则

在运用数形结合方法进行高中数学教学的时候，需要遵循一定的基本原则，确保教学活动的有效性。首先，数形结合方法的使用，应该简化教学活动，使其直观简便。运用数形结合的方法进行教学，就是为了实现知识点的立体化透视，让学生能够更加深入了解其中要点，形成有效掌握。因此在运用数形结合方法的时候，就要本着简单直观的目的，突出其作用。其次，数形结合方法的运用需要体现出创新，不能落于俗套。数形结合的方法虽然近些年比较火热，但是其运用在很久之前就开始了。因此在全新的教育形势下，对数形结合思想的运用不能再局限在过去的老旧思维，需要跳出来，依照当前的实际情况，创新出更加新颖的教学方法。

三、高中数学教学中数形结合方法的具体应用

（一）以形助数

以形助数，就是通过图形的形式方法帮助解决代数问题。在高中数学中，数列、集合、不等式、方程等都属于代数部分，而这些知识点有都和图形存在非常紧密的关联。以形助数就可以通过图形对这些方面的知识点形成全面透视。在教学活动中，要实现以形助数这一方法的运用，需要教师做好三个方面的工作。第一，明确内容与数形结合的关系。在高中数学中，虽然大部分知识都能够通过数形结合这一渠道展开教学，但是也有少部分知识不适宜这一教学方法。

比如，在教学三角函数的相关知识时，会涉及到正弦、余弦、正切、余切等方面的概念知识。这些概念比较抽象，因此在教学中就可以运用以形助数的方法，加强学生的理解。然后教师可以设置一定的例题，对以形助数进行实际运用。如：

求π的正弦、余弦和正切值。对于这个题目，通过分析可以得知，利用特殊值法和图像法都可以进行求解，但是特殊值法涉及到角度转化，因此利用图像法更为简便，即以形助数。可以画出π的图像，如下图1所示。然后进行求解，在角π的终边上任取一点P（1，y），在直角三角形PAO中，AO=1，则r=|OP|=2，|AP|=，即p（1，-）。由定义可以。

（二）以数解形

和以形助数不同，以数解形主要是通过代数方法求解图形方面的问题。但是并不是直接进行代数求解，而是先对图形进行分析，找出其中点、线、面之间的相互关系，然后再通过代数的形式解出问题.如此，就能够大大简化复杂的几何空间逻辑推断，提升学生的解题正确率。

比如，在教学圆锥曲线的过程中，教师就可以设置这样的典型案例引入以数解形的教学活动：F1、F2是椭圆C：（）的两个焦点，P是椭圆C上一点，且，若的面积为9，求b值，具体如图2所示。

从图中就可以看出，其中存在比较明显的代数关系，因此可以利用以数解形的思想，将其转化为代数问题：设，，结合椭圆曲线相关性质得出：

解方程组：，所以，从而解得。

通过典型案例的分析讲解，让学生认识到数形结合的好处所在，然后教师在设置相应的练习题目让学生巩固练习。如：图3中，有正方体ABCD—A1B1C1D1，其棱长为1，P是DD1中点，O1、O2、O3分别是面A1B1C1D1，面B1BCC1，面ABCD的中心。求证：。

四、结束语

数形结合方法在高中数学教学中具有重要的作用，对于提升教学效果意义重大。因此，对于高中数学教师而言，需要认识到数形结合的内涵实质，从以形助数和以数解形两个方面展开教学，增强学生的数学水平。

参考文献：

[1]王丽杰.高中数学教学中数形结合方法的原则和策略[J].中国校外教育，2015，19：89

[2]耿海龙.高中数学教学中数形结合法的应用研究[J].亚太教育，2016，13：78

[3]吴凌云.高中数学教学中数形结合法的应用[J].品牌，2015，05：214

【摘要】本文主要论述了思维导图在数学教学中的运用情况，它的发生、发展背景，以及在现阶段的优势，也传递了作者的反思与困惑。

【关键词】思维导图 数学教学 应用 反思

【基金项目】河南省基础教育教学研究专项课题课题名称：电子白板及思维导图软件辅助初中数学教学的应用研究课题编号：XBJY1476。

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）21-0073-03

一、问题的提出

素质教育，实质是强调以学生为学习的主体，发展学生的学科思维为目的的，同时培养健康人格的教育，而不是知识的容器，在知识大爆炸的如今，素质教育对知识的传承和体验要求更高的速度和精准度，在开展素质教育的过程恰当的教学学习方法和思路特别重要，作为一线教师，笔者从没放弃对此教学问题的探索，努力探求学生学习的最佳方法和途径，以期最佳的学习效果和思维能力的培养。

在初中数学教学实践中，经常会碰到这样的情况：老师上课时学生都能听懂，对着例题练习都会做。但到考试或实际应用数学知识解决问题时却觉得无从下手。学生经常感叹数学“一听能懂，一看可会，一做出错”；而许多教师则感叹，为什么我讲得越来越多，而学生掌握的越来越少呢？为什么现在的学生越来越难教呢？……所有这些都暴露出所教知识片面、孤立没有形成知识网络，对知识所处的环境认识不够，缺乏知识点间逻辑关系的理解，对学科知识产生的思维过程不连续等传统课堂教学的严重弊端。我们传统的知识传授的课堂教学方式，从根本上讲，它忽视了学科知识网络化、全面化，其表现就是“一学就会，模仿会做，一变就错”、“综合题不会分析，不会知识迁移”，使大批学生片面接受的知识点，不连贯，不系统，严重扼杀了学生的学习积极性和创新精神。学生不能较好地辨别和建构概念与命题框架，只是片面死记硬背大量的公理与公式。这样，知识的存储就处于零星状态，没有形成知识的网络。并且学习过程中只重视模仿性地做题，而对数学中的概念、规律缺乏深入的理解，对实际数学中问题的分析缺乏正确的方法，所以在知识提取时表现出较大的难度。

众所周知，当今时代是信息爆炸的时代，仅靠课堂所传授的那点知识是远远不能满足学生需要的。因此，课堂教学要与时俱进，就不仅要传授知识点的概念、原理，而且要引导学生认识学科知识产生的思维过程，引导帮助学生建立自己的学科知识体系，从而使学生自己学会学习，而思维导图就可以实现这一目标。

本文正是在此前提下，针对传统初中数学教学中存在的问题，就指导学生如何应用思维导图进行课前预习、课堂笔记、课后复习教学开展一些有益的探索和尝试。

二、思维导图的制作与教学优势

1.思维导图的认识与近段发展

思维导图（MindMapping）又叫心智图，由英国心理学家托尼·巴赞（TonyBuzen）于1970年提出，它以放射性思考为基础，是一个简单、高效、放射性、形象化的思维工具，能够全面调动左脑的逻辑、顺序、条例、文字、数字以及右脑的图像、想象、颜色、空间、整体思维，使大脑潜能得到最充分的开发，从而极大地激发人们的创造性思维能力。是一种有效的思考策略、思考方法、思考工具。

“思维导图”按照发散性思考的特征，把注意的焦点清晰地集中在中央图形上，主题的主干从中央向四周放射；分支由一个关键的图形或写在产生联想的线条上面的关键词构成，次级话题也以分支形式表现出来，附在较高层次的分支上；各分支形成一个连接的节点结构并且末端开放。因此，思维导图在表现形式上是树状发散结构。

美国管理学作家DrTonyTurrill评价说：“思维导图可以让复杂的问题变得非常简单，简单到可以在一张纸上画出来，让你一下子看到问题的全部。它的另一个巨大优势是随着问题的发展，你可以几乎不费吹灰之力地在原有的基础上对问题加以延伸。”波音公司将原本须费时一年才能上完的关于飞机维修技术的培训，运用思维导图方法重新整理课程之后（将所有的飞机维修工作手册绘成一张25英尺的思维导图），仅花了短短数周便有效地执行完成了训练计划，估计因为运用思维导图作为教育训练工具所节省的经费达美金一仟一百万。

思维导图如何有效的应用到教学中，在我们国家许多人也做了大量的尝试，最有影响力的是全国教育信息技术研究“十二五”规划（2011）重点课题《思维可视化技术与学科整合的理论和实践研究》，是由华东师范大学现代教育技术研究所特聘研究员、思维可视化教学实验中心主任刘濯源教授主要开展，他是思维可视化教学模式系统架构设计者、总培训指导师，他提出“学科思维导图”的概念，作为一种“基于系统思考的知识建构策略”强调了以学科知识为载体，以发展学生的学科逻辑思维能力为目标的理念，是一种较好的思维导图与学科知识教学学习相结合的思路策略，已被全国五百多所课题实验学校引进，并在教学实践中取得显著成效。

2.思维导图的制作过程

目前制作思维导图的工具很多，除了word、ppt外，还有专门制作思维导图的专业软件如mindmanager、mindmapper等。现就简单的手绘给予介绍一下。

制作准备：几张白纸和多种颜色笔。

制作步骤：

⑴把主题画在纸的中央。主题可以用关键字和图像来表示。所谓关键字，是表达本节或本学科相关核心概念的字或词，或用我们数学中的符号语言或图来代替。其应该是表示学科内具体的容、有体现对学科内容理解的意义。这样，有助于我们进行理解记忆。

⑵“次主题”，也就是在上一层主题下延伸的具有某种逻辑关系的知识点或环节。次主题关键词的提炼，同主题关键词的提炼一样。

⑶“次主题”后，罗列更为细节的具有逻辑关系的要点。这个时候要注意的是，任何一个要点出现的时候，尽可以自然地将它用学科“关键词”的方式表达出来，并把它和最相关的“次主题”连接起来。

⑷整理思维过程时，任何一个“次主题”都要用一种颜色来表示。而且，如果可能的话，要尽可能用直观的相关数学符号语言或图像来表达知识的内涵，这可以大大加深理解和记忆。

3.思维导图辅助数学教学的优势

在初中数学的学习过程中，学生需要记忆和理解的知识点较多，基本概念、定义、公理、运算的法则和技巧等。内容多、易混淆，严重影响了学生的学习能力，增加了学习负担，加上还有些学生听课时不善于整理笔记，往往以记的不全面、完整造成笔记质量不高，思路不清，对知识形不成完整的认识，和对知识间的逻辑关系缺少思考，不会迁移等，更加影响了学生学科思维的形成，也谈不上分析问题解决问题能力的提高。

而思维导图可以让学生的学习变得轻松而快乐。思维导图是一种记忆与思维方式，它以直观形象的图示建立起各个概念之间的联系。思维导图仅用关键词、图形和各种颜色的连线等可以把一节课、一个单元的知识甚至一本书、一门课程的内容“梳理”并“压缩”成由关键信息及其显现的逻辑关系所组成的一张图，去除了冗余杂乱的信息，保留了关键内容，这不仅便于加速资料的累积量，大大减轻了记忆的负担，更将知识点内容依据本学科的知识系统的逻辑关系分层分类管理，使资料的储存、管理及应用更加系统化，从而提高大脑的思维能力的发展，使学习者在浩瀚无边的知识海洋中能够快速获取所需的知识，体验知识的逻辑关系，提高对知识的理解迁移能力，获得成就感。思维导图和传统的记笔记方法相比有较大的优势。⑴它顺应了学科的逻辑思维模式，可以让我们对学科知识的各种观点自然地在图上表达出来。⑵能够加强记忆，因为在图示中通过使用关键词，既可以积极地听讲，又强迫我们在做笔记的时候就要思考知识体系的要点到底是什么。⑶激发右脑，因为在创作导图的时候还使用颜色、形状和想象力。

数学课上，新知识产生，知识点归类、复习可用思维导图。学生借助他们自己喜欢的图形或关键词，把自己对学科知识系统的理解以导图的形式构建出来，不断完善就是不断对学科知识系统的不断思索，同时做到了思维可视化，知识内容具体化，达到抽象思维和形象思维的有机结合和转化。长期使用思维导图可以增强学生的概括分析能力，增强学生的立体思维能力，增强学生的总体把握能力，及记忆力。

思维导图在教学方面的使用可以帮助老师迅速了解学生对知识的理解掌握情况，并对教学策略作出调整，使教学更有针对性，更有成效；同时它的可视化也使学生理顺抽象的知识脉络结构的问题落到实处，具有很好的可操作性，提高记忆力，增强学习能力。思维导图也有利于老师的课堂教学，上好课的前提是要备好课，而以思维导图的形式备课比写出来更快，而且可以让讲课的人和学生始终都能掌握全盘内容。另外，它也能使教师的教案不仅不会随着年岁增加而变得相对僵硬，反而会更有弹性，更容易更改。

三、思维导图在数学教与学中的应用

1.学科思维导图在课前预习中的运用

课前预习是学生提高听课效果的重要环节。如何才能让学生们短时间内的预习能达到较好的效果呢？可尝试指导学生运用思维导图进行预习。学生在预习新课内容时，可以采用思维导图的方式。可以在原有知识的基础上延伸出新的知识，这个时候，思维导图就能清晰地展现了新旧知识间的关系，可以促进学生的有效学习。先让学生预习完新的学习内容之后，思考与旧知识的关系，完成本学科内已学过的相关知识网络，说出新旧知识的逻辑关系。具体做时，让学生在白纸的中央以一个常用的习惯的图像（例如一个太阳或一朵云）为中央主题，在绘制草稿图形时能让大脑一下子进入快速思考学习的步骤，此动作会接着产生一系列的学习思考动作。如画上一朵云后，在云朵中央用一个关键词或数学符号语言及几何图象等形式写下预习的主要内容所属的核心概念，同时从云朵中央向外画上几条曲线作为主要分支（视内容定分支数），在主要分支的基础上可以有更小的分支。在预习时快速阅读内容，思考知识产生的过程，找出概念中的关键词或符号语言及几何图形等形式，填到主要分支的线上。当该主要分支上还有更细小的分支时，则继续重复上述操作。完成所有关键词填写后，接着在思维导图上做好相关的标记。例如，在对已理解、有疑惑、完全不明白的各分支上用有色笔分别标注上“√”、“√﹨”、“×”等等。

2.思维导图在数学课堂教学中的运用

（1）在学生听课中的运用

心理学家指出，中学生能持续集中精神听课的时间约20分钟左右。因此，听课过程中学生走神是很正常的现象。为避免或减少因学生走神而造成知识点遗漏的现象，很多教师都采取了多种有效的方法，例如在课堂教学设计时多让学生参与课堂教学活动、或运用多媒体教学吸引学生注意力等。除了运用上述方法外，运用思维导图的方法来引导学生听课也是不错的方法。在学生预习的思维导图的基础上，学生听课时要做的工作其实就是补充和完善该思维导图，把标有“×”、“√﹨”的地方认真听取老师或其他同学对知识的逻辑理解，并积极对知识进行拓展，“拓展知识点”前用“○+”标注清楚。

例如，先在导图中心位置填写上本节内容；在“新课导入”时把老师导入的旧知识作逻辑上的整理、对导入的新问题如何解决给予提前的思考；而在老师讲到具体的知识点时，抽象出数学学科专业的知识点，并对知识点的产生、原理、应用环境等进行思考和认识，把自己对知识点的感知情况通过思维导图清晰地反映出来。当然，这一过程，学生是在不断地思索，不断地对学科知识进行再认识，不断地对数学学科知识的内核进行提炼，极大地促进了学生学科思维的提升，也就把培养用数学知识去分析问题、解决问题的能力落到了实处。

（2）在探究式课堂教学中的运用

在探究式课堂教学中，学生以小组为单位进行讨论是非常普遍开展的一种学习交流方式，然而在通常的讨论过程中由于缺乏有效的沟通方式，小组交流以对答案为主，只重结果，而对解题的过程交流不多，或对解题过程进行口述及看对方繁琐的解题过程，这些都大大降低了沟通效果和速度，最终影响了小组或集体讨论效果，完全达不到交流讨论的目的。在讨论式教学中教学效率不高的现象是普遍存在的。要改变这种情况，只有将学生把对问题的理解及解题的思路过程用思维导图的形式可视化的体现出了，让别的同学一看就明白他思路的对错，或错在哪个环节，认识自己对数学问题的偏差。所以思维导图的可视化能更好的解决学生对学科知识思维的交流，完善学生对学科问题的再认识，重新完善自己的思维导图，提高了交流的深度、广度和速度，可以达到较好的教学效果。