观函数发展史，思变量之对应

陈燕

【摘要】在函数教学中渗透函数发展史，有助于学生理解函数的概念，帮助学生理解函数的对应关系，从生活中选取实例，让学生体会常量与变量的对应关系无处不在，函数关系来源于生活，服务于生活。

【关键词】函数 对应 数学史 教学设计

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2016）20-0233-02

教学内容

人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第十九章“函数”第一课时。

人教版教科书先通过章引言让学生体会变化的世界及研究这些变化规律的函数方法。具体内容的展开从变量开始，结合实例介绍变量和常量的意义，并在此基础上逐步抽象函数的概念。在介绍函数概念时，先研究能用数学式子表示的变量关系，让学生通过公式计算和列表，归纳其共同特征，即两个变量的相互联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量有唯一确定的值与之对应，即解析式法。接着，让学生观察用图像和表格表示的变量关系，让学生体会函数概念的确定方法也可以通过图像和表格的方式进行。

在变量与常量的教学中要创设各种变化的情境让学生深刻体会到运动变化的普遍性。在此基础上重点引导学生用数量描述变化过程（这是用数学方法研究运动变化过程的必然要求）。函数的概念的教学是本节的核心内容.教学中需要让学生体会到，虽然万物变化，但变化往往是有规律的，对变量之间相互依存关系的研究是把握变化规律的需要。

教学目标

1.知识与技能目标：

（1）探索简单实例中的数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。

（2）结合实例，了解函数的概念和三种表示法，能举出函数的实例。

（3）能结合图像对简单实际问题中的函数关系进行分析。

2.过程与方法目标：

引导学生探索实际问题中的数量关系，在解决问题的过程中体会数学的应用价值。

3.情感、态度与价值观目标：

通过观函数2000多年的发展史，培养学生对函数学习的兴趣，学生在解决问题的过程中体会数学的应用价值，帮助学生建立数学学习的自信心。

教学重点

常量与变量概念的形成过程，理解“一一对应”的含义。

教学难点

通过函数概念的辨别和举例说明，让学生深刻理解函数概念中的变化和对应。

教学流程

1.能找出简单实例中的数量关系，理解其中的变化规律，并指出其中的常量与变量.了解在一个变化过程中，数值变化的量为变量，数值始终不变的量为常量.能举例说明常量与变量。

2.能结合实例，借助图像、表格、式子等工具，用“运动变化与联系对应”的观点认识变量，理解两个变量之间的单值对应关系，即当一个变量取定一个值时，单值对应有两重含义：（1）另一个变量有对应值。（2）对应值只有一个。体会两个相关变量的不同等性，即先对其中的一个赋值，再考虑另一个的对应值，前者在变化过程中处于主动地位，后者随前者的变化而变化，后者为前者的函数。

了解列表法、解析法、图像法是函数的常用三种表示方法，知道各种表示方法的不同长处，列表法可以清楚地列出一些自变量和函数的对应值，对某些特定的数值带来一目了然的效果；解析法可以从数量关系角度明确自变量与函数的对应关系；图像法可以直观形象地反映函数的变化趋势，能选用适当的函数表示法刻画简单实际问题中变量之间的关系。

能结合生活中关于函数的问题情境，举出函数实例，分析其中哪个量是自变量，哪个量是函数，它们之间是如何对应的，让抽象的数学概念具体化。

教学活动

活动1：观看视频《函数发展的2000年》（视频来源：洋葱数学），了解函数的发展史，帮助学生理解函数的概念。

古希腊时期，人们从对运动的认识中产生了变量和函数意识的萌芽。14世纪，奥雷斯姆想把速度用图像表示出来，于是用水平线的点表示时间，称为经度；竖直线上的点表示速度，称为纬度。然后用一条线段描述了速度逐渐减少到0的运动，在函数没有精确定义前，图像已经出现。

200多年后，随着科学的发展，加快了历史的进程，人们认识到运动变化的现象大量存在，天文、航海、制图中出现了大量运动变化的问题需要解决，这些问题中都有函数的影子。笛卡尔引入了变量这一概念，莱布尼茨创造了函数一词，他认为函数由变量和常数共同组成的，他的学生伯努利强调函数一定要用公式来表示（解析式），但后来数学家们认为不应该把函数局限于只能用公式来表达，而应该体现“只要一些变量变化，另一些变量也随之变化”。

1755年欧拉把函数定义为：如果某些变量，以某一种方式依赖另一些变量，也就是当后面的这些变量变化时，前面的这些变量也随着变化，我们就把前面的变量称为后面变量的函数，例如：y=kx+b（k≠0），在这个函数的定义里，公式的地位被削弱了，变化的地位被突显出来。1837年，德国数学家狄利克雷认为怎样去建立两个变量之间的关系，也就是x与y之间的关系并不重要，只要对于每一个x都存在与之相对应的唯一的y，则y就是x的函数，这些定义抓住了函数概念的本质，事实上，函数就是研究两个变量之间的对应关系。

活动2：交流互动（形成概念）：通过四个实例的分析，让学生初步认识变量常量，得出变量、常量的概念。

问题1：汽车以60 km/h的速度匀速行驶，行驶路程为s km，行驶时间为t h，填写下表，s的值随t的值的变化而变化吗？

问题2：电影《疯狂动物城》每张票售价为30元，购买3张票花费多少元？购买10张票花费多少元？若购买的电影票数量为x张，共花费y元，y的值随x的值的变化而变化吗？

问题3：用10米长的绳子围一个矩形，当矩形的一边长分别为3米，3.5米，4米，4.5米时，它的邻边分别为多少？若矩形的长为x米，宽为y米，y的值随x的值的变化而变化吗？

问题4：美丽的水中涟漪图中，圆形水波纹慢慢地扩大，在这一过程中，当圆的半径r分别为10cm，20cm，30cm时， 圆的面积S分别为多少？请用含r的式子表示S。

活动3：巩固练习（加深理解）：通过练习进一步理解变量与常量概念， 能正确判断出某个变化中的常量和变量。

指出下列变化过程中的常量和变量：

（1）购买一些单价为0.5元/支的铅笔，总价y随购买支数x的变化而变化。

（2）已知三角形底边长为8cm，高h可任意伸缩，面积S随h的变化而变化。

（3）看一本200 页的小说，看完这本小说需要t天，平均每天所看的页数n随t的变化而变化。

活动4：体会两个变量关系的表示方法。

问题5：《韶关日报》全年定价288元（360期），若学校去年底订阅了今年全年的《韶关日报》为x份，总费用为y元。

（1）若x为10，y为多少？若x为20，y为多少？

（2）上述问题中的常量是什么？变量是什么？

（3）请用含x 的式子表示y。

问题6：目前，韶关90号汽油价格为每升7.17元，若所加汽油的量为x升，油费为y元。

（1）若x为20升，y为多少元？若x为40元，y为多少元？

（2）上述问题中的常量是什么？变量是什么？

（3）请用含x的式子表示y。

问题7：下面是中国代表团在第23 届至30 届夏季奥运会上获得的金牌数统计表，届数和金牌数可以分别记作 x 和 y，对于表中每一个确定的届数 x，都对应着一个确定的金牌数 y 吗？

问题8：如图是北京某天的气温变化图，你能根据图像说出某一时刻的气温吗？

归纳：两个变量关系的表示方法有公式（解析式）、列表、图像三种常用方式。

活动5：观看视频《中国最美城镇——韶关》，并尝试找出视频中的变量关系。

学生带着问题观看视频，并以小组为单位讨论视频中存在的变量关系，每组选派代表展示讨论结果。

学生的展示举例：1.随着年代的变化，韶关地区客家围村的数量也在变化。

2.视频中，家乡的风光照片很美，这些照片的拍摄，随着相机焦距的变化，图片成像大小也在变化。

3.随着游客人数的变化，景点门票的总费用也在变化。

小结拓展

1.函数关系中有两个变量；

2.一个变量变化，另一个变量随之变化；

3.一个变量取定一个值， 随之变化的变量有唯一确定的对应值；

4.可以用图像、表格、式子三种方式来表达函数关系。

作业设计

1.举例说明生活中的函数关系，并指出变量之间的对应关系；

2.预习19.1函数（第2课时）。

教学反思

本节课主要针对粤北乡镇学生而设计，选用较多当地的生活情境，帮助学生理解函数的概念及变量之间的对应关系，鼓励学生积极发言，学生通过积极回应老师的提问而更专注地投入学习，通过设计教学活动，帮助学生辨别函数概念，学生对于变量之间对应关系的举例说明，十分精彩。学生观看视频《中国最美城镇——韶关》后，通过小组合作，讨论视频中的变量对应关系，十分出彩，使学生在下课后仍回味反思。