费马原理在几何光学中的应用

李立纯 黄丰

【中图分类号】  G633.6               【文献标识码】  A     【文章编号】  1992-7711（2019）01-248-01

存在即合理，大自然就是以千姿百态、而又是合理的方式呈现在世人面前，你不得不佩服它的伟大和美丽。

作为研究光线的反射和折射的结果，1657年费马曾得出这样的结论：自然界总是通过最短的路径发生作用的。即著名的最短时间原理：一束光在两点间实际所走的路径是所用时间最短路径。1679年，费马原理由后来的物理学家重新加以表述，并得到公认：光线从A点到B点的实际路径，是光程（或所需传播时间）为平稳的路径。狭隘地理解平稳的含意：光程取极小值、恒定值、极大值。在许多光学系统中和许多光现象里，光线实际走的路径其光程为极小值或恒定值更为常见。

费马原理在光的反射应用中，反射光线沿反射角等于入射角的角度进行反射。

证明如下：在界面上任取一点O作为入射光线的入射点，光线由A点射向O点，再从O点反射到B点，以界面MN为对称轴，画A点的对称点A，连接AO和AO，在ΔAOB中，AO+OB>AB，则说明O点处才是它的反射点。

费马原理也可以推导几何光学中的光的折射定律：光由一种介质n1的A点进入另一种介质n2中的B点，应符合折射规律：

证明如下：设A点在介质n1中，入射角为ɑ，B点在介质n2中，折射角为β，折射点O在介面MN上，在界面MN上任取一点E，作CE//OA，ED//OB，AC⊥CE，EF⊥AO，OH⊥ED，

BD⊥ED

由圖可知，CE=AF，HD=OB，

则：OF=OEsinɑEH=OEsinβ

光在介质n1中，OF段的时间t1=■=■，

光在介质n2中，EH段的时间t2=■=■

由折射定律得：■=■，即光在这两段路径运动的时间相等t1=t2

经过E点的光路为AE、EB，在RtΔACE中CE<AE，在RtΔEDB中ED<EB，

设光沿AEB路径的时间tAEB，光沿AOB路径的时间为tAOB=tCED

则tAEB>tAOB=tCED

光似乎知道以什么方式经过一种介质才是最短的时间，复杂的物理现象背后往往隐藏着最简单的道理，只是人类很难发现罢了。大道至简，至简至美，作为一名老师，我们不但传授书本知识，更是自然科学思想的传播者，在课堂上讲一百遍枯燥的知识，不如通过科学思想的介绍，让学生领略大自然的神秘和伟大。