让“附加值”成为智慧的增长点

叶杰平

【摘要】 本文探究了轴对称图形旋转的特点，而且还有“意外的收获”——发现了旋转角度与图形对称轴条数之间的本质联系。

【关键词】 探究 轴对称 公式特点

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2018）11-196-01

人教版五年级数学下册第10页的第6题，原题为：长方形的两条对称轴相交于点O，绕点O旋转长方形。

你发现它转过多少度后与原来的图形重合？

按上面的方法试一试，你会发现下面的图形有什么特点。

此题研究的是特殊图形——轴对称图形的旋转。与前面学过的旋转相比，其旋转方式和结果都明显不同，有更大的“开发价值”。于是便有了如下的教学尝试：

一、操作实验，发现图形特点

教学前布置学生准备几套图形卡片，每套一张底卡（印有这些图形的硬纸卡）和一张能与之重合的图形。

（一）研究长方形

师：同学们，我们一起研究一些特殊图形的旋转（出示长方形、正三角形、正方形、正六边形、圆），为什么说这些图形是特殊图形呢？

生：它们是轴对称图形。

师：对，今天我们研究的就是轴对称图形的旋转。这是一个长方形，以这个长方形的对称轴的交点为中心，旋转多少度后与原来的长方形重合？（学生猜想）

师：请同学们拿出长方形纸片，先画出它的对称轴，对称轴的交点就是这个长方形的中心。再用大头针穿过这个长方形和底卡长方形的中心，拿起来试着旋转一下，看看你们刚才的猜想对不对？（学生动手操作）

师：都是旋转90度，旋转方向是怎样的？

生：顺时针或逆时针旋转90度都可以与原来的长方形重合。

师：可见与旋转方向没有关系，旋转时为什么要用两个长方形？

生：为了清楚看到长方形到底旋转多少度与原来的长方形重合，为了更好地进行对比。

师：对，旋转时要有一个参照物，才能清楚看到旋转的过程和结果。

（二）类推研究其它图形

师：请同学们画出正六边形、正三角形、圆和正方形的对称轴，然后用同样的方法，看看它们分别旋转多少度就能与原来的图形重合？

学生交流后，板书：

师：你们有什么发现？

生：绕它们中心旋转一定的角度后，还与原来的图形重合。

师：我们得到一个结论：轴对称图形绕它们中心旋转一定的角度后，还与原来的图形重合。

二、探究提升，揭示一般规律

（一）探究发現规律

师：同是轴对称图形，它们绕中心旋转到与原来的图形重合，为什么旋转角度或大或小，到底是什么在影响或决定这个转动角度呢？

生：是边数，边数越多，角度越小。

生：不对，长方形4条边，正三角形3条边，怎么长方形要旋转180度，而正三角形却只需旋转120度呢？

生：是图形对称轴的条数！你看长方形有2条对称轴，正三角形有3条对称轴，正方形有4条对称轴，正六边形有6条对称轴。

（师在相应图形下写出各图对称轴的条数）

师：把你们的发现用自己的话说一说？

生：图形的对称轴的条数越多，旋转角度越小。反过来，图形对称轴的条数越少，旋转角度越大。（板书完整表格以下）

师：请同学们认真观察上面的表格，对称轴的条数与图形旋转的角度之间有怎样的关系？

生：对称轴的条数×旋转度数=360（板书）

师：通过观察图形对称轴的条数和旋转角度之间的关系，发现了图形中对称轴的条数与旋转角度的积等于360度。这个关系式有什么作用？

生：不用旋转，直接用360除以对称轴条数算出一个轴对称图形旋转多少度就能与原来的图形重合。

（二）揭示规律本质

师：为什么图形旋转的角度会与它对称轴的条数有关联，你明白这其中的道理吗？（引导学生操作、观察、思考：原来以图形的中心旋转到重合实际上就是一条对称轴旋转到另一条对称轴的位置，其间夹角的度数就是要旋转的度数，图形有几条对称轴就有几个夹角。所以，360除以对称轴数量等于旋转角度）

师：是不是只有旋转这个角度才可以与原来的图形重合？

（引导学生得出：图形旋转一周有几次重合的机会，这里“一定的角度”是至少要旋转的角度）

三、应用规律，研究特例

师：前面我们研究的轴对称图形对称轴的条数都是两条或两条以上，有没有图形只有一条对称轴的？这样的图形旋转，情形又会怎样呢？

生：比如等腰三角形，它只有一条对称轴，旋转360度就能与原来的等腰三角形重合，也是符合这个规律的，只是等腰三角形没有旋转——

师：因为只有一条对称轴，所以没有中心，以对称轴上任意一点为中心旋转都可以，当然以对称轴在图中线段的中点为中心更省事一些。

师：圆的旋转也符合这个规律吗？

引导学生得出：1.圆有无数条对称轴，360除以一个无限大的数，结果接近于0，旋转时稍微动一下，总能与原来的圆重合。2.因为圆有无数条对称轴，相邻两条对称轴之间夹角很小，小到接近于0，随便动一下，这两条对称轴也会重合。所以，圆旋转任意角度都与原来的圆重合。

探究至此，我们不仅发现了轴对称图形旋转的特点，而且还有“意外的收获”——发现了旋转角度与图形对称轴条数之间的本质联系。在发现、推导、概括这个公式的过程中，学生所经历的从现象到本质，从定性思考到定量分析，从特殊到一般，从一般到特殊的思维体验和历练似乎更有意义。特别地，在探索过程中，对应、函数（反比例）、极限等数学思想的渗透对学生产生的深远影响，尤其弥足珍贵！更能让这个“附加值”成为智慧的增长点。