浅谈数形结合在数学教学中的运用

郑秀菊

摘 要：数形结合是数学教学中一种较为常见的教学思维方式，它强调把抽象的思维形象化，这种教学方式更能培养学生的逻辑思维方式。同时它对于解决数学中所遇到的问题，也有着更直观的解决方式。在数学教学中，数形结合是指在一定的条件下，利用数学知识推动“数”和“形”的结合，从而让学生对抽象的数学思维更好理解，培养良好的数学意识。通过对数形结合概念的具体分析和延伸，阐述数形结合在数学教学中的具体应用。

关键词：数形结合;数学教学;运用

“数”和“形”是数学中两个最基本也是最古老的概念，这两个基本概念几乎包含了从小学到高中数学知识的全部。我国著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，割裂分家万事休。”可见数形结合就是一种对应关系，是数学语言的不同表达。数量关系和几何图形结合起来，就可以将数学中复杂的问题简单化，抽象的问题具体化，从而提高对数学的认知了解，达到数学教学水平提高的最终目的。

一、数形结合在数学教学中的应用思路

在数学教学过程中，数形结合的具体应用应该按照教材理论思路，灵活地进行数与形的转变。在具体的应用思路上，有这几个应用思路：其一是在教学中，注重数形结合的简便性。二是教学中做好分析数学条件的基础。三是在具体的教学思路中，要注重一种行为依据，实现数向形转化的解决方式。最后就是在图形类的数学问题教学中，尽量采用以数的形式表达出来。这种相互辩证、相互影响的应用思路，是数形结合在数学教学中遵循的具体要素和思路。

1.简便性

数形结合的最终目的就是为了简便数学问题的解决方式，因此数形结合在应用上的最基础思路就是注重解决问题的简便性。如果在实际教学运用中，让简单的问题复杂化，那就是与数形结合的初衷背道而驰了。例如，在进行数量关系的研究教学时，可以采用图像为基础依托，让抽象的数量关系在图像的表达下显现得更直观，这就充分发挥了数形结合带来的简便性，将一些理论中的知识用图像表达，简便性能让学生更好地接触这些概念，从而大大提高数学教学的效率。

2.基础性

数形结合对于数学教学效率的提高，主要体现在两个方面。一是让学生对于数学知识的理解速度加快，而且更为牢固。二是在分析数学条件的基础上，利用数形结合具有更强的基础性，为教学积累宝贵的经验。例如在对图形进行研究的时候，可以将上边的数字的重点内容进行着重标记，这样一来不仅能让学生了解到数学知识的重点，还是后续实现准确分析数学条件的基础。因此数形结合在数学教学中的应用思路上，要注重这种基础性，确保能将数形结合的优势发挥到最大，完全体现出数形结合稳定的优越性，这对于培养学生的自主学习能力有着很大的提升。

3.“数”向“形”的转化

在数学中，虽然“数”和“形”并不是一种领域，但是之间的相互转化也是数学中的一大特点。在数形结合的实际过程中，转化方式应注重以图形为依据，实现“数”向“形”转化。这种思路是数形结合的具体体现，它是数形结合解决问题的重要方式。在具体的实践中，树立这种转化方式的思维，对于扩大数形结合的应用范围有着很大的帮助，同时这种转化方式因为形象直观，更能表达出具体的思维，在解决问题上起着定性作用。以数化形是非常重要和常见的一种类型，在使用时应特别注重。

在初中的具体教学过程中，方程求解作为数学知识中的重要组成部分，在具体教学上经常有些问题题干数据信息比较笼统和抽象，难以理清具体关系，学生在遇到这种问题时经常会耗费许多的时间，久而久之就会对方程产生一种排斥心理。这时借助数形结合的方法实现数向形的转化，就能很好地解决这一问题。例如小明和小红从家到学校，20分钟以后两个人在超市相遇，此时小红需要回家取东西，而10分钟后小明也往家赶，共用时15分钟。这样的方程问题看起来虽然不是很难，然而题干的信息却极为混乱，此时将数据化为图形就有了很直观的感受，如下图。

通过这两个图形可以发现，小明和小红在各个时间段和整个路程的关系一目了然，对于题干的所有信息都变得清晰直观。学生通过这种方式的数向形转化学习，能够大大降低学习方程的难度系数，而且有助于提高对方程的理解。

4.“形”向“数”的转化

在解决一些图形类的问题时，虽然图形本身看上去已经更直观更清楚，但是在定量方面，或是在解决一些复杂的图形时，“形”向“数”的转化就显得尤为关键。其中就要将图形中的隐含信息完全发掘出来，充分利用图形的性质和含义，把形以数的方式进行分析计算，让复杂图形变成数学问题，这种数形结合的思路对于复杂的图形数学问题有着意想不到的解决效果。因此这两种虽然都是数形结合的应用思路，但是在应用方面上有着不同，这种辩证关系，正是数形结合的具体实践思路。

在进行初中数学的教学过程中，绝大多数的情况是会分成三种方式：一类是数化形，一类是数变形，还有一类是数和形互相变化。用图表等直观地将数学中的内容表现出来，促进学生思维的拓展。

例如，下列哪些数字是不等式2x/3>50的解：76;72;78;40;60;25;90;1;55;这个不等式有多少个解？在进行解答的时候，可以利用数轴的图形来进行解答，例如图1。

又或者教师在讲解三角函数的时候，也可以通过图形让学生更直观地了解到三角函数的概念，见图2。

教师通过使用数形结合的方式，可以将抽象化的问题直观地表现出来，让学生能够了解其中的含义，将复杂的问题简单化，增强学生对于数学知识的兴趣，提高学生的学习效果。

二、数形结合在数学教学中的具体应用

数形结合已经广泛运用于数学教学中的各个方面，无论是函数、数列还是几何问题，都有着非常独到的运用。

1.函数、数列问题

函数中，图象的几何特征和数量特征是紧紧联系在一起的，它是數形结合的很好体现。例如在三角函数里，一般我们在解决确定单调区间问题和三角函数值比较的问题时，都会借助三角函数图象来处理，这种处理三角函数问题的方式，就是数形结合在实际中的具体应用。这种数形结合是以几何元素和几何条件为背景而建立起来的概念。一般来讲，具体的过程首先对问题的结构进行分析，分解已知条件和所求条件，然后通过条件之间的联系进行对比分析，找出内在联系，从而解决问题。

而在数列的问题上，由于数列是一种特殊的函数，因此也可以采用数形结合的思想方法去解决问题。数列的通项公式以及前n项和的公式都可以看作是关于正整数n的函数，因此用数形结合的思想研究数列问题就是借助函数的图象进行直观分析，从而把数列的有关问题转化为函数的有关问题来解决，这也算是一种数形结合。

2.几何问题

在数学解析几何中，所采用的基本思想就是数形结合，在数学教学中，要着重培养学生善于将数形结合的思想方法运用到对点、线、曲线的研究上，这有利于培养学生对于问题的自主解决能力。而在立体几何中，数形结合的具体实践主要是在坐标上，用坐标的方法将几何的相互关系进行研究，可以将抽象的几何问题转化为纯粹的代数运算，这样的数形结合思想在实际运用中，不仅解法便捷，还能使复杂的几何问题迎刃而解。

通过以上数学知识对于数形结合的具体应用，我们可以总结出数形结合在具体应用中主要是实数和数轴上的点对应关系、函数与图形对应关系、曲线与方程对应关系等。

三、数形结合在数学教学中的延伸

数形结合在实际教学中，除了要对学生进行方法的教学外，还要注重對于学生学习能力的培养，这种数形结合思想的延伸，具体有这几个方面。

1.结合教材内容，建立数形结合的解题思想

数形结合作为数学中重要的解题方法，不仅要教会学生如何运用，更重要的是将这种思想灌输给学生。鼓励学生进行归纳和总结，在遇到问题时能自主想到数形结合解题思想，促进学生对数学思想的探究。如在进行幂函数、反三角函数、对数函数的教学过程中，教师要通过教材让学生自己动手参加学习，为学生重点构造一种形象的感官性，从而培养学生的认知结构，将数形结合变为学生的思维工具，而不是解题工具。

2.结合教学问题，提升解题能力

数形结合的解题思想，为教学提供了方便，但是最直接的目的还是为了提高学生的解题能力。因此，数形结合在数学教学中的延伸，应该也以提高学生的解题能力为主要方向。在教学过程中，教师要运用实际遇到的问题，扮演指导的角色，为学生运用数形结合思想指明方向，同时对于学生遇到的困难进行疏解沟通，从而达到培养学生逻辑思维能力的目的。

3对数形结合的解题能力进行总结复习

在实际的教学过程中，教师对于学生的学习过程要注重总结复习，必须要培养学生的总结能力，这样才可以让数形结合的思想完全融入学生的解题思路中。其中包括对基础知识、基础公式、解题方法的总结，再通过例题的方式对学生数形结合思想进行巩固。最后教师可以将各种不同的题目进行汇总，构建一个独特的数形结合的知识网络，从而将数形结合思想贯彻到学生的数学思维当中。

初中数学是一门偏抽象化的学科，部分数学概念和理论需要极强的逻辑性，数形结合教学方法可以在很大程度上弥补有些学生逻辑上的不足。总之，在新时期数形结合在数学教学中的应用，必须在明确应用思路的基础上通过对各个知识点进行具体的数形结合教学，在教学基础上进行延伸，达到培养学生数形结合思维的目的，可以从教材和学生遇到的教学问题入手，充分引领学生进行数形结合的思考，从而提高数学的教学素养，提高整个数学的教学水平。

参考文献：

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编辑 温雪莲