对极限概念的剖析

王帅

摘 要：极限概念思想是近代数学领域中的重要思想之一，同时也是数学专业学生必须掌握的数学思维方式之一。随着整个时代的进步和人类社会的发展，极限概念思想的重要作用也越发在社会中体现出来。而近代数学领域中的数学分析，就是以极限概念思想为基础，并且以极限概念理论为主要工具进行函数研究的一门学科。极限概念知识的引入，使得这门学科无比神秘。

关键词：极限概念；数学领域；思想

一、引言

在没有接触高等数学之前，近代数学领域中的人们熟知的解决日常数学问题的方法大致可以分为代数计算和几何作图这两种，即对数据进行分析的代数运算和通过对图像分析来研究数学问题。但是进入大学接触到高等数学后，人们会发现一种更为常见的数学思维方法——极限思想。极限概念理论是从以前的初等数学到现在的高等数学的关键转折点。

初涉猎高等数学和极限概念思想的学生，如果想清楚、灵活地掌握极限的概念，是有些困难的。但是如果从极限思维在整个数学领域的发展历史中来了解极限的相关知识，并且弄清极限理论的相关概念等难题，这样会容易一些。通过这种方法，可以有助于学生对极限概念加深理解，对于目前掌握和以后应用极限概念思想都会起到至关重要的作用。

二、极限概念思想的形成与发展

极限概念思想是贯穿整个大学高等数学的一门科学的数学思想。对于数学专业的人来说，极限概念思想不仅仅是数学分析的重要概念之一，也是微积分理论的基础。因此，要想学好高等数学，首先必须掌握极限概念思想。而了解极限概念思想理论的历史发展过程，是掌握极限概念思想的有效方法。

1.极限概念思想的由来

在唯物辩证法的演化史中，人们所了解的有关无限与有限的内容知识有着本质的不同，但实际上两者之间存在着密切的联系。在一定的程度上，无限是有限的发展，而有限是无限的条件。

广袤世界上所有的科学的思想方法都是社会实践的产物，是人们日常生活实践的产物，数学领域下的极限概念思想也不例外。极限思想源远流长，提及极限概念的思想，我们不得不提及我国古代的刘徽。而到了近代的16世纪，在荷兰有一位著名的数学家——斯泰文，他在研究三角形中心课题的过程中，发现并改进了穷竭法。穷竭法在当时的古希腊很流行，人们熟知穷竭法，并且很依赖穷竭法。斯泰文借助几何直观地运用极限思想进行了许多问题的思考，但是，受到创立初期经验不足和历史条件的局限性等因素，人们对极限思想基本概念的认识还不深刻，造成无法定义许多极限思想的相关概念，尤其是有些定理和公式的推导。

2.极限概念思想的完善

在极限概念思想完善的过程中，后来出现的割圆术是对极限概念思想完善的一种形式，而当时在古希腊流行的穷竭思想，其實也蕴含着极限的思想。到了19世纪初期，波尔察诺写有《纯粹分析的证明》一书，是微积分开始严格化的标志，可以说，波尔察诺是微积分开始严格化的前驱。

19世纪初期，拥有许多有关微积分和极限思想内容著作的柯西，被公认为是近代分析理论的主要奠基人。柯西在他的著作中创新了微积分理论中长期沿用的、很多模糊的旧的概念，经过反复论证，柯西发现其中的核心理论问题是极限思想。柯西将极限概念理解为潜无限值，这个值一定程度上是个定值，而这个定值就叫做一切其他值的极限。在这个过程中，极限概念思想实现了突破，因为其挣脱了与几何直观的、任意的联系。但是，这种脱离还是会受到一些因素的制约，导致柯西的微积分理论基础并不牢固。柯西所表达出的极限概念思想没有规范的数学定义模式，而是仅仅停留在直观的描述上。

19世纪50年代出现的魏尔斯特拉斯，他经过分析和思考严密化方面的理论知识和一系列的努力，改进了波尔察诺和柯西等人的理论。对于柯西的直观的算数概念，魏尔斯特拉斯提出了有关极思想的纯算术定义。自此，极限概念理论才得以充实和完善，进入到一个新的发展时期。

极限思想涉及广泛，其在现代数学乃至日常生活中都有着广泛的应用，其揭示了很多对立统一的关系。掌握好极限思想，人们的认识就可以从有限认识扩展到无限认识，进而丰富自己的生活和提高自己的思维缜密度。

三、结论

极限概念的诞生，使许多有关天文学、力学等的难题得到解决，方便了人们的生活，拓展了人们的视野。在数学领域，极限概念理论是数学领域中数学分析相关知识的基础。数学分析又主要以微分和积分为主要研究对象，而极限又是微积分学这座大厦的基石。总体来说，就是极限概念思想很基础、很重要。经过漫长的发展和完善，极限概念思想才有了今天的成就和状态。所以，作为数学专业的学生，每个人务必应学好极限理论知识，并要熟练掌握极限思想，熟知极限思想概念的发展过程，有利于增加对于极限相关理论的认识，进一步增加对于数学分析的学习兴趣和乐趣。极限概念的思想没有数学某些理论的枯燥，其充满神秘感，值得人们用一生去追求和探索。

参考文献：

[1]明清河.数学分析的思想与方法[M].济南：山东大学出版社，2005.

[2]李克典，马云苓.数学分析选讲[M].厦门：厦门大学出版社，2005.

编辑 范昕欣endprint