例谈数学教学中的“变式”是培养学生思维品质的有力途径

温海兴

《义务教育数学课程标准》指出：“数学教学中，发展思维能力是培养能力的核心，通过培养学生会观察、实验、比较、猜想、分析、综合、抽象和概括等能力，形成良好的思维品质，提高思维水平。”著名数学教育家斯托利亚尔曾说过：“数学教学是数学思维活动的教学，而不是教学的结果——数学知识的教学。”因此，数学课堂教学的任务不能只满足于用妥教材和用准教材，能够实现知识的顺利传播就算了事，更重要的是借助知识教学这块跳板，让学生在获得基础知识的同时，发展和培养思维能力。可见，培养思维能力是中学数学教学的重要任务。而思维品质是思维能力的表现形式，发展和培养思维品质是发展和培养思维能力的主要途径。充分挖掘教材潜力，进行“变式”，发挥它在培养思维品质过程中的主导作用，是一种有效手段。本文就数学教学中培养学生良好思维品质，粗浅地谈谈自己有关“变式”的一些做法。

一、变式“公式”，培养思维的敏捷性

1.变式公式，在解题中灵活应用公式的变形形式，能达到出人意料的效果

由完全平方公式（a±b）2=a2±2ab+b2可推出以下几个等式：

①a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab

②ab=[（a+b）2-（a2+b2）]

③（a+b）2-（a-b）2=4ab

例1.计算（m2+n2）2-[（-n）2-（-m）2]2等于     。

简析：由等式③得，原式=（n2+m2）2-（n2-m2）2=4m2n2

例2.已知a+b+c=0，a2+b2+c2=4，那么a4+b4+c4的值是   。

简析：由已知等式得a+b=-c，a2+b2=4-c2

由等式②，得ab=[（a+b）2-（a2+b2）]=[（-c）2-（4-c2）]=c2-2

由等式①，得a4+b4=（a2+b2）2-2a2b2=（4-c2）2-2（c2-2）2=8-c4∴a4+b4+c2=8

通过公式的变形，使学生学会观察、比较，熟悉公式的结构，辨别条件，领会内涵，简化运算;又有利于激发学生的学习兴趣，提高学生分析问题的能力。

2.逆用公式，反向思考

完成一道题的解证后，引导学生解题后的分析探索与引申，逆用所学的公式、性质，这样既能落实双基，获得深刻认识，又能训练和提高自己的思维水平，养成探究问题的习惯。

例3.计算（a+b）2（a-b）2

简析：逆用积的乘方公式ambm=（ab）m可简化解题过程。

原式=[（a+b）（a-b）]2=a4-2a2b2+b4

例4.把a中根号外的因式移入根号内。

简析：本题是性质=a的逆运用，在二次根式成立条件的基础上挖掘题目的隐含条件->0，即a<0。

∴原式=-（-a）=-=-

例5.分母有理化

简析：该题可用常规法解，但若能逆用性质（）2=a，（）2=b（a≥0，b≥0），运算尤为简便：

原式===+

显然，以上各题不能仅满足于常规解法，通过变式，逆用公式、性质，探索“活法”“巧法”，以开阔思路，训练思维的敏捷性。

二、变式“解法”，培养思维的灵活性

通过一题多解，引导学生从各个角度去思考，认识问题，寻求新关系、新答案，提高学生学习的积极性与兴趣，激发学生的求知欲。同时，也培养了学生思维的灵活性，为学生的思维开辟了广阔的天地。

例6.如图6-1，已知BE、CF分别是△ABC的中线，且交点是G，求证：BG∶GE=CG∶GF=2

解法1：由于点E、F分别是△ABC的边AC、AB的中点，联想到中位线的知识。

如图6-1，连结EF

BE、CF分别是△ABC的中线?AE=CE

AF=BF?EF∥BC?

△GBC∽△GEF?====2

[A][A][A][B][C][E][F][G][B][C][E][F][G][D][A][B][C][E][F][G][D][D][B][C][E][F][G][图6-1][图6-2][图6-3][图6-4]

解法2：由平行线及成比例线段的知识，容易联想到下面解法。

如图6-2，过点E作ED∥AB交CF于点D

∵AE=CE，ED∥AB∴ED是△ACE的中位线∴ED=AF=BF，由△EDG∽△BFG，得===2

设DG=a，则GF=2a，∴CD=DF=a+2a=3a∴CG=a+3a=4a∴==2，故==2

从上述解法可看出，过中点E或F作平行线构造中位线即能证明该题，综合平行线等分线段定理及其推论等知识，可大胆猜想过A、B、C三点分别作某线段的平行线，一定能构造出中位线及相似三角形、全等三角形，结合代数方法，同样可证得结论（证明请读者完成）。

解法3：如图6-3，过点A作AD∥CF交BE的延长线于点D，构造中位线GF，可证△CGE≌△ADE。

解法4：如图6-4，过点A作AD∥BE交CF的延长线于点D，构造中位线GE，可证△BFG≌△AFD。

[A][A][A][A][B][C][D][E][F][G][B][C][D][E][F][G][B][C][D][E][F][G][B][C][D][E][F][G][图6-5][图6-6][图6-7][图6-8]

解法5：如图6-5，过点B作BD∥AC交CF的延长线于点D，构造△BGD∽△EGC，△BFD≌△AFC。

解法6：如图6-6，过点C作CD∥AB交BE的延长线于点D，构造△BGF∽△DGC，△ABE≌△CED。

解法7：如图6-7，过点B作BD∥CF交AC的延长线于点D，构造中位线CF，易证△EGC∽△EBD。

解法8：如图6-8，过点C作CD∥BE交AB的延长线于点D，构造中位线BE，易证△FBG∽△FDC。

综合上述各种添加平行线的证法，可将题设给出线段的中点这一条件加以推广：由平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理的特殊情形联想到，凡给出已知点分已知线段成比例的条件时，就可以用这一方法来添加平行线。

综上可见，在教学中，教师应当在重视概念、公式、性质、定理、例题等教学的同时，讲透其内涵与外延，从不同方位、不同角度进行“变式”，密切关注学生思维品质的形成。正如著名数学家华罗庚所说：“在寻求真理的长征中，唯有学习，不断地学习，勤奋地学习，有创造性地学习，才能越重山，跨峻岭。”只有这样，才能使学生更好地学习，养成良好思维品质的习惯，具有创造性和开拓性，达到提高数学素养，树立良好思维品质的目的。

·编辑 孙玲娟endprint