基本不等式教学感悟

潘丽

基本不等式是人教版必修5第三章的内容。本节教学重点是应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同角度探索基本不等式的证明过程。难点是用基本不等式求最大值和最小值。

利用基本不等式≤求最值必须满足三个条件才可以进行，即一正，二定，三相等。其中一正是指各项为正数，二定是指“和”或“积”为定值，三相等指等号一定能取得到，这三个条件缺一不可。这是比较抽象的内容，尤其是“定”的相关变化比较灵活。因所带两个班级学生基础相当。因此我尝试采用两种不同的教学方式。在一个班级中用以往的教学模式，先引言引出基本不等式，再引导学生探究公式，再给出相应的练习题。很明显学生是依葫芦画瓢，对公式不是很理解，生搬硬套公式，稍微改变就不会了。在另一个班级我改变以往的教学方式，并没有立即对概念进行进一步的探索，而是在教学过程中让学生自己发现问题，独立思考，小组合作再想办法解决问题。例如，一正，我采用反证法。如果a<0，b<0，结果会怎样？立刻就有学生回答如果a<0，b<0，左边为正数，而右边为负数，不等式不成立。接着给出了两道练习题。

（1）已知y=x+（x>0），求函数的最小值。

（2）若a，b∈R*求+的最小值。

让学生初步体会基本不等式的应用。紧接着又给出两道有难度的题，先让学生自己独立完成。学生在做题过程中遇到困难发现无法继续时，让学生分組讨论。

先让学生自己独立思考，再分组讨论。学生才能表述出自己的观点，融入自己的想法。

（3）已知y=sin t+（t∈0，），求函数的最小值。

（4）已知y=x+（x>2），求函数的最小值。

有小组的学生很快给出了第（3）小题的答案是4。此时有学生提出问题，第（3）小题有问题。公式中指出当且仅当a=b时取等号，那么只有当sin t=2时取等号，此时y≥4，函数的最小值为4。然而正弦函数最大值为1，sin t=2不成立。此时取不到等号，函数没有最小值。说明a=b这个条件不可缺。

对于第（4）小题，学生思考了很久，不知如何解决，此时给学生适当的提示。这道题与之前的（1）（2）有什么区别。有学生发现（1）（2）题中乘积都是一个常数，而这道题x·不是常数，所以找不到最小值。那如何让乘积变为常数呢？有学生回答将原式改为y=x-2++2就可以了。在解题过程中不断发现问题，再想办法解决问题，使学生加深了对概念的理解，也使学生领悟到利用基本不等式≤求最值必须满足三个条件才可以进行，即一正，二定，三相等。对于第（3）小题不能用基本不等式解决，让学生课下查找资料寻找解决的方法。这种方法相比较第一个班的教学方法更容易让学生接受，同时也可以激发学生的学习兴趣。

编辑 张珍珍