引导学生在数学学习中反思，培养学生的思维能力

朱晓洁

摘 要：数学思维能力的培养是中学数学教学的重要目标之一，而提高思维能力的有效途径之一就是在教学过程中对学生的反思能力进行培养。因此，教师在教学中要积极创造可供学生反思的机会，引导学生积极反思，从而提升学生的思维品质，提高学生的学习效益。

关键词：反思；数学思维能力；严谨性；批判性

数学思维能力的培养是中学数学教学的重要目标，提高数学解题能力又是教师和学生共同关心的问题。在高中数学教学中，由于学生的认知结构水平的限制，升学压力的影响，学生往往对基础知识不求甚解，只热衷于大量做题，缺乏对解题思路、解题方法、解题过程进行反思，不注重分析、评价和判断解题策略的优劣，不善于发现、反思和纠正自己的错误，结果是学生的模仿能力变强了，数学思维能力却没有根本性提高。

《普通高中数学课程标准》指出，反思是学生学习过程的重要一环。世界著名数学家和数学教育家弗赖登塔尔教授也指出：“反思是数学思维活动的核心和动力。”反思是学生对自己认知过程、认知结果的监控和体会。数学的理解要靠学生自己的领悟才能获得，而领悟又靠对思维过程的不断反思才能达到，因此，引导学生在数学学习中不断反思，培养学生反思的意识，使学生养成反思的习惯，从而提高学生数学解题能力，提高数学思维能力。

一、对解题过程进行反思，培养学生思维的严谨性

思维的严谨性是数学学科的基本特点，它要求解题思路必须清晰、准确；解题过程必须严格、周密；结论叙述必须精练、准确。在教学过程中，教师要不失时机地抓住学生在解题过程中由于审题不清、对概念理解不深刻、考虑问题不周全而导致的過程不严密，结论有错误，要引导学生对解题过程进行反思，在反思中优化解题策略。

案例1：已知m2x+21-x≥2（m>0）对x∈R恒成立，求实数m的取值范围。

学生1解法：换元法。令t=2x，转化为mt2-2t+2≥0对一切t∈R恒成立，∵m>0∴？驻≤0，得m≥ 。

答案是正确的，但其中的过程有漏洞。教师要积极引导学生反思解题过程。通过讨论，学生2指出：原问题等价于不等式mt2-2t+2≥0对一切t>0恒成立，而不是对一切t∈R恒成立，所以仅仅考虑？驻≤0是不严密的。正确解法为：令f（t）=mt2-2t+2，转化为对一切t>0，f（t）≥0恒成立，由于t= 对称轴不定，需分两类讨论研究（解答略）。

反思1：在解题的过程中，经常会用到换元的方法解决问题，要关注转化的等价性。

分析出错误原因后，继续引导学生思考：既然过程是错误的，为什么恰好结论是正确的？能否指出错误的合理性。学生3发现：∵m>0，∴对称轴t= >0，结合图像，可以发现只要考虑？驻≤0就可以了，所以歪打正着，错误的过程得出了正确的结果。

反思2：方程、不等式和函数密不可分。将不等式的恒成立问题转化为函数的问题，再以“形”助“数”，简洁直观。所以在解题中要充分关注函数的思想、数形结合、分类讨论等重要的数学思想方法。

教师乘势引导学生探究：如果没有“m>0”这个条件，用上述方法解决此题，必须分类讨论研究，非常繁杂。学生是否有更好的方法来解决此题？学生4展示解法：变量参数。m≥ =2 -2（ ）2，令t= ∈（0，1]，则不等式右边为y=2t-2t2，得此二次函数在（0，1]的最大值为 ，得m≥ 。

反思3：回归到熟悉的参数分离方法，避免了繁复的分类讨论，使得解答更为简洁。

所以教师要积极引导学生对解题过程中产生的漏洞及时修正，对错误及时反思，摆脱思维定势，对已形成的认识从另一个角度，以另一种方式进行再思考，以求得新的深入认识，灵活选择解题方法，优化解题策略，培养学生思维的灵活性，提高解决问题的能力。

二、对解题中的错误进行反思，培养学生思维的批判性

思维的批判性是指在思维活动中能严格估计思维材料和精确检验思维过程，有根据地作出肯定接受或否定质疑的品质。在数学学习中，正确和错误相伴而生，教师要把错误看作是一种有效资源，引导学生善于发现错误，对错误进行反思，并主动纠正错误，要引导学生大胆质疑，帮助学生突破思维障碍，对答案及时分析、评价和判断，这有利于学生深刻理解数学概念的本质含义，有效地培养学生思维的批判性，优化认知结构。

案例2：已知数列{an}中a1=1，an+1=2an+2n，求数列{an}的通项公式。

有两位学生用两种不同的方法得到两个不同的结论。

学生1解法：根据递推公式，先归纳、猜想，再用数学归纳法加以证明得an=n·2n-1

学生2解法：an+1+2n=2（an+2n），又a1+2=3

∴{an+2n}是以3为首项，2为公比的等比数列

∴an+2n=3·2n-1，即∴an=2n-1

反思：两种方法至少有一种是错误的。哪种方法错误？错在哪里？

学生2自己发现错误：若把an+2n看成是数列{an+2n}的第n项，则an+1+2n不是数列的第n+1项，所以方法2错误。

学生2反思：前一段时间在研究a1=1，an+1=2an+2求该数列{an}的通项公式时，我们就是用待定系数法构造等比数列来解决的。为什么今天这个问题就不能用构造等比数列解决呢？

方法3：变形为 - = ， = ，数列{ }是以 为首项，以 为公比的等差数列，得 = ，得an=n·2n-1

变式问题：已知数列{an}中a1=1，an+1=3an+2n求数列{an}的通项公式。

a1=1，an+1=3an+2n an+1+2n+1=3（an+2n），a1+2=3

∴{an+2n}是以3为首项，2为公比的等比数列，

∴an+2n=3n，即∴an=3n-2n

探究推广：a1=a，an+1=kan+f（n）（k≠0），求数列{an}的通项公式

an+1+？姿f（n+1）=k（an+？姿f（n））（k≠0）

？姿kf（n）-？姿f（n+1）=f（n），？姿（kf（n）-f（n+1））=f（n）

结论：当kf（n）-f（n+1）≠0时，？姿= ，则数列{an+？姿f（n）}是以a+ 为首项，k为公比的等比数列；当kf（n）-f（n+1）=0时，k= ， = + ，则数列{ }是以 为首项， 为公差的等差数列。

学生的错误不可能仅靠正面的示范和反复的练习得以纠正，必须是一个“自我否定”的过程，教师要利用学生的错误资源，积极引导，促使学生对已完成的思维过程进行周密且有批判性的再思考，引导学生从错误中反思，从错误中学习，不断从“错误”走向“正确”。

三、对解题方法的多样性进行反思，培养学生思维的广阔性

思维的广阔性是指善于从多方面、多角度去思考问题、发散思维。在数学学习中，其主要表现为：对于一个问题，善于多方探求，能通过联想、类比、迁移，获得多种解法，寻求解决问题的最佳方案。

案例3：给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为120°。如图所示，点C在以O为圆心的圆弧 上变动。若 =x +y ，其中，x，y∈R则x+y的最大值是________。

学生解法1：点乘自身平方。将原等式两边平方得：x2+y2+xy=1，整理得xy= [（x+y）2-1]，又xy≤（ ）2，所以 [（x+y）2-1]≤（ ）2，解得x+y≤2，當且仅当x=y=1，x+y取最大值2。

学生解法2：点乘关联向量。设∠AOC=α，α∈[0， π]在原等式两边分别点乘 ， 得 · =x · +y · · =x · +y · ，即cosa=x- ycos（120°-a）=- x+y，所以x+y=2[cosa+cos（120°-a）]=2sin（a+ ），当a= 时，x+y取最大值2。

反思1：通过数量积，将向量形的问题代数化，还有什么方法能将向量形的问题代数化？

学生解法3：坐标法。以O为坐标原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，设∠AOC=α，α∈[0， π]，得 ， ， 的坐标，由 =x +y 得x= sina+cosa，y= sina，以下同解法2。

数学问题解决的方法是多维的，但其结论具有确定性，因此，在一个问题的解决中，应当引导学生多角度地去观察问题，获取多种解法，这样有助于开阔学生的视野，培养学生思维的发散性，发挥学生的潜能。

四、对题目立意的反思，培养学生思维的深刻性

题目的解出，并不意味着解题活动的结束，恰恰相反，它可以是解题探究的新的开始，所以，波利亚特给解题过程安排了一个环节——回顾（即反思），这是很有必要的。变更条件，可以训练分析与综合思维能力，将条件与结论互换可以训练逆向思维能力，引申、拓展可以训练学生的发散性思维能力。

案例4：过抛物线y2=2px（p>0）的焦点的一条直线和抛物线相交两点A（x1，y1）、B（x2，y2），求证：y1y2=-p2。

学生探究发现多种解法，学生通过比较、分析发现下列解法是最简洁的方法。

证明：因为直线过抛物线的焦点，故设直线的方程为x=my+ ，代入y2=2px中，有y2-2pmy-p2=0，由于y1，y2是该方程的两实根，由韦达定理可知，y1y2=-p2。

问题解决后，教师可进一步引导学生对这一问题进行适当的变式、引申和拓展，让学生从具体问题走向更广泛的问题空间，变单一的解决问题为巩固知识，形成解题策略的方法体系。

反思1：此问题的逆命题是真命题吗？即一条直线和抛物线y2=2px（p>0）相交两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1y2=-p2，那么该直线过抛物线的焦点吗？

反思2：把问题的条件加以推广，能得到类似的结论吗？若过定点（c，0）的直线和抛物线y2=2px（p>0）相交两点A（x1，y1）、B（x2，y2），那么y1y2是定值吗？

反思3：将逆命题的条件加以推广，能得到类似的结论吗？一条直线和抛物线y2=2px（p>0）相交两点A（x1，y1）、B（x2，y2），若y1y2=m（定值），那么该直线过定点吗？

反思4：将问题的条件进行改变，能得到类似的结论吗？直线和抛物线y2=2px（p>0）相交A、B两点，设直线OA和OB的倾斜角分别为α，β，若α+β为定值θ（0<θ<π），那么该直线过定点吗？

问题解决后，改变命题的条件和结论，从纵横两方面加以引申、拓展，引导学生多角度、多层次、全方位地进行反思，能使掌握知识的层次更具深度和宽度，思维更深刻，使学生由会解一道题到会解一类题，把数学思维提高到一个由例及类的档次，形成有效的“思维链”，有利于学生今后对解题途径作出快速选择，简化思维过程，缩短思维回路，提高思维的灵活性。

科学有效的反思为学生提供了再创造的沃土和新型的学习方式，适应了新课程改革的要求，教师在教学中要积极创造可供学生反思的机会。引导学生反思解题思路，通过一题多解训练学生的发散性思维，优化思维品质；引导学生反思解题规律，通过一题多变、多题一解，做到举一反三，触类旁通；引导学生反思解题结果是否合理，解题过程有没有漏洞，从而巩固知识、减少错误、发展思维、培养探索能力、引发再创造。使反思变为学生自我内在的一种需求，从而提高学生的数学思维能力，提高学生学习效益。

编辑 谢尾合