在几何画板中绘制分段函数图象的方法之探究

陈峰

摘 要：几何画板是高中数学备课和课堂教学中不可或缺的一款教学软件，在几何画板中，不仅可以利用根号和对数函数作出连续型或限定定义域的初等函数的图象，还能借助符号函数构造出分段函数各段上的所乘函数，进而绘制出分段函数的图象，达到为教学研究服务的目的。

关键词：几何画板；分段函数；图象

几何画板（The Geomters Sketchpad，简称GSP）是一款适用于数学、物理等学科，可以进行矢量分析、作图、函数作图等操作的动态几何工具.由于它能够动态地展现出函数图象和几何对象的位置关系及运行变化规律，深受广大教师的青睐，也是不少数学教师在备课、上课中不可或缺的教学软件之一.然而，即便是功能如此强大的几何画板，仍旧在绘制分段函数这一方面显得不够“体贴”和“人性化”，这也或多或少地限制了教师对它的开发与使用.因此，本文基于5.04版的几何画板，针对如何在几何画板中绘制分段函数的图象进行研究.

一、在几何画板中作限定定义域的初等函数的图象

类型1 初等函数在定义域内连续

例1 作函数f（x）=x2-2x+，x∈[0，3]的图象.

操作步骤：

（1）在“绘图”——“绘制新函数”的对话框中直接输入函数表达式x^2-2*x+1/2得到函数f（x）=x2-2x+在R上的图象.

（2）点击函数图象选中，右击选择“属性”（如图1），可在栏目“绘图”内设置函数的定义域边界的数值（如图2），点击确定可得到函数f（x）=x2-2x+，x∈[0，3]的图象.

上述操作步骤的优势在于操作比较便捷，只要在几何画板内对函数图象进行简单设置便可实现，主要适用于在定义域上连续的初等函数.

类型2 初等函数在定义域内不连续

例2 作函数f（x）=x2-2x+，x∈[0，1]∪[2，3]的图象.

操作步骤：

（1）构造函数F（x）=x2-2x++0·.

（2）在“绘图”——“绘制新函数”的对话框中输入函数表达式x^2-2*x+1/2+0*sqrt[-x*（x-1）*（x-2）*（x-3）]，点击确定可得到函数f（x）=x2-2x+，x∈[0，1]∪[2，3]的图象（如图3）.

虽然函数F（x）中0·的值恒为0，但要使得其有意义，即解不等式-x（x-1）（x-2）（x-3）≥0，可解得x∈[0，1]∪[2，3]，这恰好为所画函数f（x）的定义域.因此，函数f（x）与函数F（x）本质上是相同函数.

一般地，对于限定定义域的初等函数f（x），通过构造得到函数f（x）的相同函数F（x）的方式有下列8种情况：

1.函数f（x）的定義域为[a，b]，可构造函数：F（x）=f（x）+0·.

2.函数f（x）的定义域为（a，b]，可构造函数：F（x）=f（x）+0·.

3.函数f（x）的定义域为[a，b），可构造函数：F（x）=f（x）+0·.

4.函数f（x）的定义域为（a，b），可构造函数：F（x）=f（x）+0·ln[-（x-a）（x-b）]或F（x）=f（x）·.

5.函数f（x）的定义域为（a，+∞），可构造函数：F（x）=f（x）+0·ln（x-a）或F（x）=f（x）·.

6.函数f（x）的定义域为[a，+∞]，可构造函数：F（x）=f（x）+0·.

7.函数f（x）的定义域为（-∞，b），可构造函数：F（x）=f（x）+0·ln（b-x）或F（x）=f（x）·.

8.函数f（x）的定义域为（-∞，b]，可构造函数：F（x）=f（x）+0·.

二、在几何画板中作分段函数的图象

例3 作分段函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的图象.

方法1 先将分段函数f（x）拆分为两个函数，即f1（x）=2x-1（x≤1）和f2（x）=3-x（x>1），然后再分别作上述两个函数的图象.

操作步骤：

（1）构造以下两个函数，F1（x）=2x-1+0·和F2（x）=3-x+0·ln（x-1）.

（2）在几何画板的同一文档页面内的“绘图”——“绘制新函数”的对话框中分别输入函数表达式2^x-1+0*sqrt（1-x）和3-x+0*ln（x-1），分别点击确定后可得到函数f1（x）和f2（x）的图象，两者可组成函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的图象（如图4）.

方法1的本质是拼接了函数f1（x）和f2（x）的图象，虽然可以使人在视觉上感觉在同一坐标系下作出了f（x）的图象，但其缺陷也是显而易见的，比如说函数f（x）图象并非一次成图，函数图象也不能被整体选中，并且在图象上任取的一点更不可以在分段函数f（x）各段的图象上自由移动.因此，方法1所绘制的函数图象有较大的局限性，不适合用以研究函数f（x）的性质.

方法2 利用符号函数sgn（x）=1，x>0，0，x=0，-1，x<0.构造函数f（x）的相同函数F（x），通过绘制函数F（x）的图象得到分段函数f（x）的图象.

操作步骤：

（1）构造函数F（x）=（2x-1）+（3-x）.

（2）在“绘图”——“绘制新函数”的对话框中输入函数表达式（2^x-1）*[1+sgn（1-x）]/2+（3-x）*[1+sgn（x-1）]/2，点击确定后可得到函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的图象.

方法2巧妙地利用了分段函数的特点，弥补了方法1中不能一次成图、无法整体选中、取点无法自由移动等缺陷.函数F（x）中所构造的和用于匹配其所乘函数的定义域的范围.具体地，当x<1时，和分别为1和0，则此时F（x）=2x-1，同理，当x>1时，F（x）=3-x.因而，类似地，对于分段函数g（x）=g1（x），x≤a，g2（x），ab.（a

=g1（x）·+g2（x）·+g3（x）·.

较之方法1，方法2已有明显的改进，弥补了方法1的诸多缺陷，同时也是目前较为普遍的一种处理方式.但即便如此，方法2仍存在不完美之处.对于函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 ，当取x=1时，

f（1）=0，而对于函数F（x）=（2x-1）+（3-x），当取x=1时，F（1）=0·+2·=1≠f（1）.由于几何画板中孤立的点不被显示，这使得上述问题常常被忽略.其实通过观察和分析不难发现，造成上述偏差的主要原因是函数y=虽然可以在x>1和x<1时分别取得1和0，但当x=1时的取值却是，而非0，从而使得F（1）≠f（1）.因此，要想借助符号函数sgn（x）得到分段函数f（x）的相同函数，就必须重新构造3-x所乘函数的关系式.

方法3 对方法2进行改进，重新构造2x-1和3-x的所乘函数，分别为k1（x）=sgn[1+sgn（1-x）]和k2（x）=sgn[1+sgn（x-1）]·sgn|x-1|.

操作步骤：

（1）构造函数F（x）=（2x-1）·sgn[1+sgn（1-x）]+（3-x）·sgn[1+sgn（x-1）]·sgn|x-1|.

（2）在“绘图”——“绘制新函数”的对话框中输入函数表达式，（2^x-1）*sgn[1+sgn（1-x）]+（3-x）*sgn[1+sgn（x-1）]*sgn[abs（x-1）]点击确定后可得到函数f（x）=2x-1，x≤13-x，x>1 的图象.

方法3构造了y=k1（x）和y=k2（x）两个函数，当x>1时，由于1+sgn（x-1）=0，所以k1（x）恒等于0，由于1+sgn（x-1）>0，|x-1|>0，k2（x）恒等于1；同理可得，当x<1时，k1（x）恒等于1，k2（x）恒等于0，而当x=1时，1+sgn（x-1）>0，|x-1|=0，仍能保证k1（x）恒等于1，k2（x）恒等于0.

类似地，利用相同的原理，根据不同定义域下的函数，可构造出其所对应的不同的所乘函数k（x），具体如下：

1.当x≤a时，构造k（x）=sgn[1+sgn（a-x）].

2.當x

3.当x≥b时，构造k（x）=sgn[1+sgn（x-b）].

4.当x>b时，构造k（x）=sgn[1+sgn（x-b）]·sgn|x-b|.

5.当a≤x≤b时，构造k（x）=sgn[1+sgn（x-a）（b-x）].

6.当a

7.当a≤x

8.当a

对于一个含有n（n∈N*）段的分段函数f（x），其每一段所对应的解析式为fi（x）（1≤i≤n，i∈N*），根据上述方法，可以构造出fi（x）所对应的所乘函数ki（x），再令F（x）=[fi（x）·ki（x）]，则f（x）

与F（x）为相同函数.因此，只需在几何画板“绘图”——“绘制新函数”的对话框中输入函数表达式后再点击确定，即可得到函数f（x）的图象.至此，在几何画板中绘制分段函数图象这一问题才最终得以真正解决.

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