数形结合思想在初中数学教学中的实践研究

李焱

摘 要：对于初中数学科目的学习来说，数形结合思维在许多题目的解答中很常见。顾名思义，数形结合就是开拓思维、另辟蹊径，通过将“数”和“形”这两种要素结合到一起，综合把握题目所给的条件，深入分析问题、简化解题思路的方法。

关键词：初中数学；数形结合；教学策略

对于初中数学科目的学习来说，数形结合在许多题目的解答中非常常见。顾名思义，数形结合就是开拓思维、另辟蹊径，通过将“数”和“形”这两种要素结合到一起，综合把握题目所给的条件，深入分析问题、简化解题思路的方法。数形结合作为一种应用广泛且难度较大的数学方法，在初中数学课程教学中占据着极为重要的地位。对于初中数学老师来说，教导学生掌握好数形结合的方法，不但可以做到以“数”解“形”，通过代数知识深入理解题目图形所表达出的数量关系，而且可以做到以“形”解“数”，通过图形模型化抽象为形象，从而降低纯粹代数方法解题的难度。

一、以“数”解“形”

1.以“数”解数轴问题

数轴本来就是数形结合的产物。“数”和“形”的关系通过数轴表现为每个点的实数显示和位置显示。“数”和“形”在数轴上的统一为数形结合、简化求解提供了极大便利。因此，有些时候以“数”解数轴问题，可以弥补学生在空间思维上的不足，将距离的运算或者式子的运算转化为坐标的运算。比如，在计算数轴上A、B两点间距离时，通常以“数”解“形”，采用两点坐标对应相减的方式求解。再比如，给出数轴上M、N的图形表示，然后根据M、N的位置关系判断一个式子（如2M+N）的正负或者比较两个式子（如比较2M+N与2N+M）的大小。

2.以“数”解图形面积

以“数”解图形面积是几何中常见的一种解题方法，这种方法主要依靠建立坐标系来完成。在坐标系中，点通过二维或者三维坐标来确定，线段通过两点之间的坐标运算来表示，而图形面积可以通过特定线段（长、宽、高等）长度的运算来求得。举个简单例子，在坐标系中求解三角形的面积。根据面积公式，三角形的面积等于底乘高除以2。所以，首先要在坐标系中找到组成“底”的两点，确定坐标，并求出线段长度；然后在坐标系中作出底边上的高，找到组成“高”的两点，并求出线段长度；最后套用三角形面积公式，就可解出题目。

二、以“形”解“数”

1.以“形”解不等式

以“形”解“数”，在解答不等式问题上发挥着极为重要的作用。由于不等式的结果往往是一个值域，而非某个固定的值，所以单纯借助代数方法解答不等式问题具有较大的难度。但是，通过作图，不等式问题将变得清晰明了、一目了然。以“形”解不等式，不仅可以用直线表示出式子，还可以通过直线以上或者直线以下的区域表示出不等式的取号，最终通过几条直线围成的区域联合确定值域。举个简单例子，式子x+1就是一條过点（0，1）、向上倾斜45度的直线（记作直线A），而式子1-x就是一条过点（1，0）、向下倾斜45度的直线（记作直线B），而x+1≤1-x在图上就表示为直线A在直线B下方，即两直线交点左边所夹成的区域，根据图形很容易求得该不等式的值域。

2.以“形”解绝对值

绝对值问题是以“形”解“数”的另一个典型案例。以“形”解答绝对值问题不仅要联系到常用的坐标知识，有时还要联系到数学中的象限知识。象限是两条数轴的组合，是借助数轴方式解答绝对值问题的二维延伸。在象限图形中，绝对值表现为线段长度，而绝对值内变量的符号则表现为点所在的象限。举个简单的例子，已知m的绝对值大于n的绝对值，m<0，n>0，判断m+n的正负符号。将这道题放到数轴图形中分析，m<0代表m位于数轴上原点左侧，n>0代表n位于数轴上原点右侧，又知m的绝对值大于n的绝对值，即m距原点的距离比n距原点的距离远，所以m+n应为负号。再比如，点A（1，1）在第一象限，点B（-1，2）在第二象限，求解线段AB的长度。根据数形结合思想，就是在象限中以A、B为两个顶点构建一个直角三角形，然后通过象限坐标确定直角三角形中两个直角边的长度，计算出直角三角形斜边的长度，即线段AB的长度。

以“数”解“形”，可以通过代数知识深入理解题目图形所表达出的数量关系；以“形”解“数”，可以通过图形模型化抽象为形象，降低纯粹代数方法解题的难度。初中数学教师在教学中注重“数”与“形”结合，一方面能够以更加灵活、更加直观的方式展现数学知识，有效改善初中数学课堂教学效果、大大提高学生群体的整体数学成绩；另一方面能够优化学生数学思维，推进学生开动脑筋、认真思考，多角度探求解决问题的办法。综上所述，初中数学教师教导学生数形结合方法、培养学生数形结合思维，有其现实意义上的重要性和必要性。

参考文献：

[1]罗新兵.数形结合的解题研究：表征的视角[D].华东师范大学，2005.

[2]刘红艳.高中生运用数形结合思想解题的调查研究[D].南京师范大学，2014.

编辑 谢尾合