“数线段”的建模教学尝试

摘 要：“数线段”是小学数学教学中不可或缺的内容，各种版本均有设计，只是存在年级、形式不同而已。其体系无外乎通过“基本线段”和“起点位置”两种方法建立起相同的“数模”。在此基础上，可以巧妙渗透“组合”知识，从学生能理解的“层次”与“角度”来建立另一种“数模”，从而让数学更有趣。

关键词：数线段；不重不漏；依次相加

作者简介：朱小艳，四川省开江县实验小学教师。（四川 开江 636250）

中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2018）12-0028-03

有一次，曾观摩一位老师在教学北师大版四年级上册“数学好玩”之三“数图形学问”。当教学行进到3+2+1=？时，几乎所有学生按教师“预设”按部就班计算。

“4×3÷2=6”，突然一位学生大声说道。可这位老师不予理睬。当时，笔者就在想：这是对的呀！为什么不让这位学生站起来说说理由呢？是老师根本没有预设到？还是嫌麻烦引导学生从“数列”推演出？

课后，与其交流。老师担心让这位孩子站起来说，让“预设”的教学被打破，无法进行下步“换种数法”的教学。喜欢刨根问底的笔者一直没有放弃思考：或许班上一些学生学了“奥数”，知道“（首项+末项）×项数÷2”。如果让那位孩子来说，整个教学就会宕开一笔，旁逸斜出，确实难以拉回正题；况且从“数列”推演着实有点“揠苗助长”并“曲高和寡”。那可不可以从另外角度与层次引导学生理解，让这次“综合与实践”更好玩呢？细思量，“数线段”“握手”也好，“单程票”也罢，都是“组合”问题，即从n个不同元素中取出2个元素的所有组合数，就是n×（n-1）÷2。但绝不能对小学四年级学生这样引导，这就关系到“深入”之后如何“浅出”的问题。

回到教材关于“线段”的概念上：线段有两个端点，线段有一定长度。意即在直线上任意两点之间的距离就是一条线段，也就是在直线上，一点可以与另外任意一点连成一条线段。于是，笔者所在学校就以“数线段的两种玩法”为题进行了一次深入的专题研修。且附教材：

首先，还是遵循教材编排意图利用多媒体进行教学：在创设“鼹鼠钻洞”情境后，将曲线洞径变成线段图，并用字母表示洞口；然后分别按“线段长短”和“不同的点出发”两种方法进行数线段，做到“不重不漏”。学生初步感受、理解、操作后，通过“菜地旅行”计算单程票增加“点”的数量，从而建立“数线段”模型。即标有多个点的这种图形：

线段总数就是以“点数减1”作为第一个加数，然后“依次减1”的数相加，一直加到“1”为止。

一课时的教学，声形并茂的课件激发并维持着学生的学习兴趣，学生亲自参与画线段、数线段，不亦乐乎！整堂课渗透了“转化”“数形结合”“建模”等数学思想，学生充分领会到了“有序思考”。

第二课伊始，以完成填空复习巩固导入：即标有多个点的这种图形：

线段总数就是以（ ）作为第一个加数，然后（ ）的数相加，一直加到（ ）为止。

如（ ）+（ ）+（ ）+（ ）+（ ）+（ ）=（ ）

接下来，师生一起“玩”了几个名堂。

一、师生竞技比速度

学生自己选派信任的同学上台担任“主考官”，临时在黑板上出题。为了教学有效，将图形的点控制在10—20范围之内。同时选派3名计算高手上台跟老师“pk”，其余同学边计算边当评委。

三个回合下来，全班学生皆败无疑。“同学们，三次都败了吧。想不想知道，老师是如何‘玩赢你们的？”下一个“玩”法就在学生的跃跃欲试中开启了。

二、换种算法自主悟

（一）找出图形上的A点与其他点连接组成的线段，如图：

板演：

A：AB、AC、AD、AE

当找出图形上的B点与其他点连接组成的线段时，学生提出质疑：线段AB不是已经数了，还用数吗？老师鼓励道：“我们不妨先按照数与A点连接的线段一样数下去，看看会是怎样的！”

（二）按照“两点相连组成线段”方法数完所有线段

于是，学生数出了这样多的线段：

A：AB、AC、AD、AE

B：AB、BC、BD、BE

C：AC、BC、CD、CE

D：AD、BD、CD、DE

E：AE、BE、CE、DE

数完之后，老师引导：你发现了什么？学生很快发现：按照“两点相连组成线段”方法数，数出了5×4=20条线段，但每条线段数了两次。

（三）总结归纳新的算法

紧接着，让学生“想一想”、“说一说”新的算法，在学生处于“愤悱”状态时，适时抛出了填空题，帮助学生理清算理与算法：

图形的每一点都与其余（ ）点连接组成（ ）条线段，照这样计算，共有（ ）条线段，但是每条线段数了（ ）次，所以线段总数是（ ）。

经过充分讨论与交流，学生终于恍然大悟：

图形的每一点都与其余（4）点连接组成（4）条线段，照这样计算，共有（5×4）条线段，但是每条线段数了（2）次，所以线段总数是（5×4÷2）。

（四）牛刀小试新的算法

要求：先想后说，边说边列算式，可不再详细列出具体的线段。学生纷纷上台边说边列算式，有板有眼，无不轻松快乐！如：

图形上的每一点都与其余7点连接组成7条线段，照这样计算，共有8×7条线段，但是每条线段数了2次，所以线段总数是8×7÷2=28条线段。

三、鞏固迁移天地宽

（一）不一样的握手

1. 依次增减玩法。第一组5位学生上台表演握手：A同学与其余4位同学握完手就下台，B同学与其余3位同学握完手就下台，C同学与其余2位同学握完手就下台，剩下D、E同学握完手一起下台。全班同学列出算式：4+3+2+1=10。

2. 对等重复玩法。另一组5位同学上台表演握手：A同学与其余4位同学握完手原地等待，B同学与其余4位同学握完手原地等待，一直待E同学握手完毕，5位同学一起下台。全班同学列出算式： 5×4÷2=10。

3. 说清新玩法。学生借鉴线段的数法，略加思考，很快说出了玩法：每位学生都与其余4位学生握一次手，照这样计算，共握5×4次手，但是每两位学生握了2次手，所以握手总次数是5×4÷2=10。

4. 增加数量巩固新玩法。如：15位学生站成一排，每2位学生握一次手，一共要握多少次手？

按照原法：14+13+12+11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1=105

新解如下：

每位学生都与其余14位学生握一次手，照这样计算，共握15×14次手，但是每两位学生握了2次手，所以握手总次数是15×14÷2=105。

（二）为“数角”新解埋下伏笔

“北师版”教材四年级下册有数角的练习如下：

当按教材教学后，同样可以如法炮制：图形上的每条射线与其余3条射线组成3个角，照这样计算，共有4×3个角，但是每个角数了2次，所以角的总数是4×3÷2=6。

两节课的“数图形”教学皆取得了成功。课下，笔者所在学校数学老师进行了理性总结分析。北师大版教材基于四年级上册学生初学时引导学生按“线段长短”和“不同的点出发”两种方法进行数线段，做到“不重不漏”，培养学生“有序思考”是十分必要且非常有益的！这两种方法最终都建立同一个“数模”：线段总数就是以“点数减1”作为第一个加数，然后“依次减1”的数相加，一直加到“1”为止。存在一定局限的是，一则点多画图繁杂，二则量多计算麻烦。而第二种渗透“排列组合”的教学必须建立在北师大教材的基础上，就可规避上述之局限。第二种建模教学尝试不仅在于此，还在于“数学知识的教学，要注重知识的‘生长点与‘延伸点，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中，注重知识的结构和体系，处理好局部知识与整体知识的关系，引导学生感受数学的整体性，体会对于数学知识可以从不同的角度加以分析，从不同的层次进行理解”。

参考文献：

[1] 课程标准（2011）導读与教学实施——小学数学[M].北京：北京理工大学出版社：179.

责任编辑 范艳玲