基于变易理论的数学核心素养的培养

刘堂利

【摘 要】随着新课改的深入推进，学生素质的重要性越发凸显。对于高中数学学科而言，关于数学核心素养的问题更是引发教师、学生的关注与重视。文章以变易理论为基础，探讨了中学生数学核心素养的具体措施。

【关键词】变易理论；数学；核心素养

中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2016）36-0090-02

数学核心素养是具有数学基本特征、适应个人终身发展和社会发展需要的必备品格与关键能力，是数学课程目标的集中体现。它是在数学学习的过程中逐步形成的。数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析。

数学抽象是指舍去事物的一切物理属性，得到数学研究对象的思维过程。逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据逻辑规则推出一个命题的思维过程。数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学知识与方法构建模型解决问题的过程。直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过程。数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。

本文从变易理论的角度尝试培养学生的数学核心素养。

一、变易理论简介

变易理论由瑞典学者Ference Marton提出，起源于80年代的现象图示学研究。变易理论认为，学习认识事物或现象就是从对象中区分出一些主要特征，并将注意力同时聚焦于这些特征，学习就是识别，而识别依赖于对差异的认识，主体所能同时体验到关于对象各个方面的变异维数就直接决定可能的学习空间。识别和变异是其核心概念。识别是指在变易空间中对学习对象的多种关键属性进行分辨，变异则指在现象、概念认识和问题解决过程中，对问题不同形式的变换。

变易理论在数学中的应用主要是变式教学。变式教学是对学生进行数学技能和思维训练的重要方式，通过对数学问题进行多角度、多方面的变式探索研究，有意识地引导学生从变化的问题中发现不变的本质，从不变的本质中探索变的规律，优化学生思维品质，培养学生的数学核心素养。

二、基于变易理论的教学思考

1. 利用“一题多变”丰富问题情景

从基本问题出发，通过不同的视角，变换问题的条件、结论和形式，但不改变问题的本质，使本质的东西更全面。

【例1】已知复数z1、z2，其中|z1| =1，z2的实部为1，且1≤|z2|≤，若z= z1z2，求z在平面上的区域面积。

解题思路：先确定z的轨迹形状、大小，再求其面积。本题最后结果为3π平方单位。（略）

根据上述方法，可得下面几个问题。

【问题1】已知复数z1、z2满足|z1|=1，Re z2=1，且1≤|z2|≤，求区域P={z|z = z1z2}的面积。此题与原题意一样，目的在于熟悉符号Re z2、点集与区域关系。

【问题2】已知复数z1、z2满足|z1|=1，Re z2=1，且1≤

|z2|≤，求区域P={z|z=z1+z2}的面积。此题是根据四则运算，由乘法联想到加法。

【问题3】已知复数z1、z2满足|z1|=1，Re z2=1，且1≤

|z2|≤，求区域P={z|z=z1n+z2n}的面积。问题的提出同问题2。但本题易造成学生心理上的压力和恐惧感，如同原命题联系起来，问题就不难以解决了。

【問题4】已知复数z1、z2满足|z1|=1，Re z2=1，且1≤|z2|≤，求区域P={z|z=z1+z2}绕直线z=1旋转一周所得旋转体的体积。由面积联想到体积，由平面图形联想到空间图形，联想到旋转体，把求面积问题演变为求体积问题。这是问题的由来。解答如下：

解：设z=x+yi，z1=cosθ+i sinθ，z2=1+bi（x，y∈R，-1≤b≤1），由z=z1+z2得，x+yi=cosθ+i sinθ+1+bi。即x+yi=（1+cosθ）+i（b+sinθ），由复数相等定义得x=1+cosθ

y=b+sinθ，消去参数θ得（x-1）2+（y-b）2= 1（*）， 表示以（1，b）为圆心，1为半径的圆。因为b在[-1，1]上变化，（*）表示一簇圆，簇圆半径均为1，圆心在线段x=1（-1≤y≤1）上滑动。圆滑动后的轨迹如图阴影部分。因为x=1为此平面图形的对称轴，旋转后的旋转体为一圆柱、两个半球拼凑而成。故所求体积V=π·13+π·12·2 =立方单位。

问题4比较综合，拐弯较多，由例1推来，其解决也就变得容易了。

例题1通过变易问题的不同情景，使学生学习时能看到问题的本质，能克服和减少思维僵化和思维的惰性，从而可以更深刻地理解问题。一题多变有利于促进学生提出问题、分析问题和建模能力的培养，培养学生解决实际问题的能力。

【例2】若点P1、P2表示复数z1、z2，线段P1P2绕点P1逆时针旋转90°到P1P3位置，证明点P3表示的复数是z1+ i （z2-z1）。

证明：对应的复数为z2-z1，对应的复数为 （z2-z1）（cos90°+ i sin90°）=（z2-z1） i，又=+，所以（或称点P3）对应的复数为z1+（z2-z1）i，命题得证。

若将原题中的“90°”改为“α”，其他条件都不变，则有：

【命题1】若点P1、P2表示复数z1、z2，线段P1P2绕点P1逆时针旋转α角到P1P3位置 ，则点P3表示的复数为z1+（z2-z1）（cosα+ i sinα）。

在命题1的基础上附上条件“|P1P3| = r·|P1P2|”，则有：

【命题2】若点P1、P2表示复数z1、z2，线段P1P2绕P1逆时针旋转α角到P1P3位置，且|P1P3| = r·|P1P2|，则点P2表示复数z1+（z2-z1）[r（cosα+ i sinα）]。

这就是复数中的旋转公式，此公式在解决向量旋转问题时有重要作用，要求学生切实掌握，由例2推得命题2，有助于学生记忆并熟练地运用它。

同样，将命题2中的 “逆时针” 改为 “顺时针” 即可得。

【命题3】若点P1、P2表示复数z1、z2，线段P1P2绕P1顺时针旋转α角到P1P3位置，使|P1P3| = r·|P1P2|，则点P3表示复数z1+（z2- z1）[r cos（-α）+i sin（-α）]。

可见，重视解题后的分析，有利于思维能力的培养，有助于新问题的发现和解决，达到化繁为简、变难为易的效果。同时还有助于对问题进行分类，便于记忆等等。

2. 利用“一题多解”拓展数学思维

一题多解是从不同角度、运用不同的思维方式来解答同一个问题的思考方法。一题多解有利于培养学生直观想象能力和数据分析能力。数据分析是指针对研究对象获得相关数据，运用统计方法对数据中的有用信息进行分析和推断，形成知识的过程。直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用图形理解和解决数学问题的过程。在寻求一题多解的过程中，学生需要从多角度收集数据，提取信息，借助空间关系和图形描述进行分析、推理和综合。

【例3】已知正数a，b满足+=3，求a+b的取值范围。

解题思路：结合本题求范围的问题，通常采用的思路是：一是根据化归思想，化二元转为一元，即利用+=3将a+b中的b用a表示，然后用基本不等式求范围；二是对+=3进行变形，找到a+b与ab的关系，然后消去ab，建立a+b的不等式求解。

【解法1】由+=3得a+b=3ab，∴ b=由于a>0，b>0，可得a>，于是a+b=a+=a+×=a++= a-+ + ≥2+=，（当且仅当a-=，即a=时取等号），∴ a+b的取值范围是[，+∞）。

【解法2】由+=3得+=1，∴ a+b=（a+b）（+）=++≥ +2= （当且仅当=，即a=b=时取等号），所以a+b的取值范围是[，+∞）。

【解法3】由+=3得a+b=3ab，又ab≤（）2，所以≤（）2，即4（a+b）≤3（a+b）2，所以a+b≥， 即a+b的取值范围是[，+∞）。

【解法4】由+=3得a+b=3ab（*）。设a+b=t，则b=t-a，代入（*）式得t=3a（t-a），整理得3a2-3ta+t=0，又由+=3得a>，即方程3a2-3ta+t=0在（，+∞）上有解，令h（a）=3a2-3ta+t，則△=（3t）2-4×3t≥0

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（）>0，解得t≥， 所以a+b的取值范围是[，+∞）。

通过一题多解，还可以总结出运用基本不等式求最值或取值范围的常用技巧：①含有多个变量的条件最值问题，一种方法是减少变量的个数，将问题转化为只含有一个变量的函数的最值问题进行解决；另一种方法是采用代换的方法，对代数式变形后，再运用基本不等式；②妙用常数代换求代数式的最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常的解决办法是常值替换，即由已知条件得到某个式子的值为常数，然后将要求最值的代数式乘以常数，再对代数式进行变形整理，最后利用基本不等式求最值。

运用变易理论中的变式教学，可以培养学生数学核心素养。在实际教学过程中需要注意以下问题：①精选问题。要选择具有示范性、发散性、重点突出的典型问题进行变易，从而提高学生发现问题、解决问题的能力；②以生为本。问题变式要充分认识到学生的最近发展区。通过设置具有启发性和科学性的“台阶”和问题情境，让学生在主动发现、主动探究的过程中完成变式的认知过程，促进新旧知识的联系；③情境丰富。变式情境要和现实生活紧密联系，要让学生从原始的问题情景中抽象出数学问题，建立模型，变易模型和问题情境。

参考文献：

[1] 李巧春.基于变易理论的函数y=Asin（ωx+φ）性质的认识[J].数学教学研究，2014，33（6）：20—41.

（编辑：易继斌）