建构数学模型领悟细胞大小与物质运输的关系

陈从兵

(重庆市潼南第一中学 402660)

人教版高中生物学教材中有“细胞大小与物质运输关系”的模拟实验，以琼脂块和NaOH溶液分别模拟细胞和细胞所需要的物质。通过建构数学模型来领悟细胞大小与物质运输的关系。

设正方体的琼脂块边长为x，NaOH扩散深度为a，且x≥2a，a>0(扩散深度不能超过边长的一半)(图1)。该实验中NaOH在琼脂块中的扩散速率相同(单位时间内扩散深度相同)。

图1 琼脂块平面图

1 表面积与体积之比随体积增大而减小

琼脂块的表面积为6x2，体积为x3，其表面积与体积之比为：y=6x2/ x3=6/x，因此琼脂块表面积与体积之比随琼脂块的体积增大(边长增加)而减小(图2)。

图2 琼脂块表面积与体积之比

2 琼脂块中变红的体积占整个琼脂块的比例

琼脂块的体积为x3，NaOH扩散深度为a，所以NaOH未扩散到琼脂块的部分为一个边长为(x-2a)的正方体。琼脂块中变红的体积(即NaOH扩散到琼脂块遇酚肽变红的部分)为：y= x3-(x-2a)3，其占整个琼脂块的比例为： y= [x3-(x-2a)3〗/ x3=1-(1-2a/x)3， 因为x≥2a，所以x增大，2a/x值减小(2a/x≤1)；则1-2a/x值增大[0≤(1-2a/x)<1]，(1-2a/x)3值也增大；而1-(1-2a/x)3值减小，且0<[1-(1-2a/x)3]≤1。由此得出：琼脂块中变红的体积占整个琼脂块体积的比例随琼脂块的体积增大而减小(图3)。

图3 琼脂块变红体积占整个琼脂块的比

3 细胞不能无限长大

因琼脂块可模拟细胞，NaOH可表示进入细胞的物质，因而琼脂块中变红的体积占整个琼脂块体积的比例就可表示细胞物质的运输效率。通过建构数学模型可领悟以下几点：①随细胞体积的增大，细胞的表面积与体积比减小；②物质扩散速率相同(不变)，尽管随着细胞体积的增大，扩散部位占到细胞的体积有所增大，但相对于细胞体积的增大，物质扩散到细胞的体积占整个细胞的体积反而减小，即细胞内物质运输效率降低；③当细胞长大到一定体积时，因为物质运输效率不能满足其需要就进行分裂增殖(细胞内物质运输效率的大小是细胞分裂的原因之一)，故细胞不能无限长大。