浅析一些多角度解题的技巧

钱文华

摘要：本文主要考虑从另一学科角度考慮某个学科内问题的时候对所考虑的对象可以得到不同的描述，很多时候使得结构更加简洁，也更容易被理解。

关键词：代数；幂集；交换群；Sylow定理、

一、引言

我们将通过具体例题的方式来说明，在解决某个学科内问题时候，如果我们从另一个角度出发，将能对所研究的对象的结构得到一个更简洁与清晰的认识。

假设 为一个集合，我们记 为 的幂集，亦即 所有子集所组成的集类。我们回顾 代数的概念[1]：假设 满足以下条件： ；

如果 ，则 ；其中 为 的补集；

如果一列集合 ，则 ；

则称 为一个 代数。

二、多角度考虑问题的一些技巧

我们考虑以下问题：

例题：假设 为一个集合， 是一个 代数。已知 中仅有有限个集合，求证存在正整数 使得 中集合个数为 。

从概念上来看，我们很自然地觉得这是一个实变函数课程中出现的问题，我们先看一个常规做法。

证明1：我们首先在 中定义极小元概念：假设 。我们称 是 中的极小元，如果 且 蕴含着 或者 ；亦即 中不存在 的非空真子集。

因 中仅有有限个元素，故 中显然有极小元存在。假设 是 中的极小元且 。因 为一个 代数，我们有 。而又有 。故而 或者 ，亦即 中任一集合都包含 或者与 不交。进而可得 中任意两个极小元都不交且 中任一集合都是其中有限个极小元的非交并。反之因 为一个 代数，故 中任意有限个极小元的非交并仍然在 中。不妨假设 中有 个极小元，则可得 中集合个数为 。证毕。

以下我们给出一个代数中群论角度的证明。

证明2：我们在 中定义如下计算：

因 为一个 代数，可得该运算是封闭的。且易见对任意 ， 以及 。因此可得 是一个群，其中 为群的单位元且对任意 ， 的逆元为它自身。显然，我们还可以得到 是一个交换群。因为 是一个有限群，故根据Sylow定理[2]，我们可得 同构于一些有限循环群的直和。而又有对任意 ， 的逆元为它自身，即 中每个非单位元的阶数都为2，因此 同构于一些 的直和。故存在正整数 使得 中集合个数为 。证毕。

参考文献：

[1]徐森林，薛春华；实变函数论；清华大学出版社；2009。

[2]杜奕秋，程晓亮；近世代数；北京大学出版社；2013。