浅谈初中几何三角形中的开放性问题

王志华

摘要：初中几何三角形中的开放性问题是比較常见的，其开放性包括解题条件开放、解题过程开放和解题结果开放。

关键词：三角形，开放性；条件开放；过程开放；结果开放

初中几何三角形中的开放性问题是比较常见的，其开放性包括解题条件开放、解题过程开放和解题结果开放。在一个具体的问题中，其开放性，或居其一、或居其二，或三者有之。在此，举例谈谈自己的一些粗浅看法。

一、解题条件开放

在一些三角形的问题中，条件往往是开放的，即条件不是唯一的，由这些条件或其中的某些条件，可以得到相同的结论。例如：如图1，在△ABC中，D、E分别是AC、AB上的点，BD与CE相交于点O，现给出下列四个条件：

①∠EBD=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；BE=CD；④OB=OC

（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定△ABC是等腰三角形？（用序号写出所有情形）。

（2）选择第（1）小题中的一种情形，证明△ABC是等腰三角形（本题选自八年级数学第十一章单元目标检测试题）。

解：（1）共有四种情形：

A、①③ B、①④ C、②③ D、②④

（2）由①④来证明，即已知：∠EBD=∠DCO，OB=OC，证明：△ABC是等腰三角形。

在△OBC中

∵OB=OC

∴∠OBC=∠OCB

又∠EBD=∠DCE

∴∠OBC+∠EBD=∠OCB+∠DCE

即∠ABC=∠ACB

∴△ABC是等腰三角形

二、解题过程开放

在很多三角形问题中，条件和结论都是唯一的，但其解法是多种多样的，也就是解题过程开放。例如：如图2，在△ABC中，D是BC的中点，BE=CF，DE⊥AB，DF⊥AC， 垂足分别是E、F，求证：AD是∠BAC的角平分线（本题选自八年级数学第十一章单元目标检测试题）。

解法1：

∵DF⊥AB，DF⊥AC

∴∠BED=∠CFD=90°

在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD （中点定义）

∵

BF=CF

∴在Rt△BED≌Rt△CFD（HL）

∴∠B=∠C

∴AB=AC（等角对等边）

又BD=CD

∴AD是△ABC的解平分线（等腰三角形的顶角平分线与底边上的中线重合）

解法2：

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BED=∠AFD=90°

在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD（中点定义）

∵

BE=CF

∴在Rt△BED≌Rt△CFD （HL）

∴DE=DF

又DE⊥AB，DF⊥AC

∴点D在∠BAC的平分线上（到角两边的距离相等的点在这个角的平分线。

解法3：

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BED=∠CFD=∠AED=∠AFD=90°

在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD（中点定义）

∵

BE=CF

∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）

∴DE=DF

在Rt△AED和Rt△AFD中

AD=AD

∵

DE=DF

∴Rt△AED≌Rt△AFD （HL）

∴∠BAD=∠CAD

即AD是△ABC的角平分线（角平分线定义）。

解法4：

∵DE⊥AB，DF⊥AC

∴∠BED=∠CFD=90°

在Rt△BED和Rt△CFD中

BD=CD

∵

BF=CF

∴Rt△BED≌Rt△CFD （HL）

∴∠B=∠C

∴AB=AC

在△ABD和△ACD中

AB=AC

∵ BD=CD

AD=AD

∴△ABD≌△ACD（SSS）

∴∠ABD=∠ACD

即AD是△ABC的角平分线。

三、解题结果开放

在一些三角形问题中，结果往往不是唯一的。例如：等腰三角形的一个角是80°，它的另两个角是多少度？（本题选自八年级数学教材上册第56页第1题第（2）小题）。

解：分两种情况：

（1）当顶角为80°时，其余两个角都是50°；

（2）当底角为80°时，其余两个角分别是80°和20°。

四、解题条件、解题过程和解题结果同时开放

在某些三角形问题中，解题条件、解题过程和解题结果的开放不是单一的，而是并存的，例如：如图3，在△ABC中，BD和CE分别是AC和AB边上的高，请你增加一个条件，写出一个结论，并证明你写出的结论（本题选自八年级数学第十二章单元目标检测试题）。

解法1：条件：OE=OD，结论：EB=DC.

∵BD和CE是高

∴∠BEO=∠CDO=90°

在△BEO和△CDO中∠BEO=∠CDO

∵ OE=OD

∠BOE=∠COD

∴△BEO≌CDO（ASA）

∴EB=DC

解法2：条件：EB=DC， 结论：BD=CE.

∵BD和CE是高

∴∠BEC=∠CDB=90°

在Rt△BEC和Rt △CDB中

EB=DC

∵

BC=BC 图3

∴Rt△ BEC≌Rt△CBD（HL）

∴BD=CE.

解法3：条件：AD=AE，结论：AB=AC

∵BD和CE是高

∴∠ADB=∠AEC=90°

在△ADB和AEC中

∠A=∠A

∵ AD=AE

∠ADB=∠AEC

∴△ADB =△AEC （ASA）

∴AB=AC

本题的解题方法不只以上三种，还有若干种解法，在此选择了其中的三种解法，以起到抛砖引玉的作用。

总之，三角形中的开放性问题是比较常见的，其开放性包括解题条件开放、解题过程开放和解题结果开放。