高等数学教学中不定积分计算方法的总结与探讨

张孟++吴常虹

摘要：本文结合例题总结不定积分计算换元积分法的几种常见的技巧，帮助学生理清解题思路，提高解题能力。

不定积分的计算是高等数学的学习的重点和难点，不定积分的计算方法多，题型灵活；在教学过程中发现许多的同学很难熟练灵活地运用所学方法进行解题，一方面是由于练习不够，另一方面是由于同学学习过程中对每种方法的解题原理、适用范围以及处理办法和技巧并不了解，因此本人结合多年教学经验系统地介绍不定积分计算换元积分法的常见方法与技巧。

一、第一类换元积分法（凑微分法）

定理 若 ， 可导，则

适用题型：第一类换元积分法主要是用来解决复合函数的积分问题；

处理方法与技巧：

把被积函数写成两个函数的乘积 ；

（1）选择相对复杂函数（比如 ），对其求导（或对其主要部分求导）；

（2）若求导后得到的是简单函数（ ）的倍数，此时表示凑微分成功。

①常数倍

②函数倍 在这种情形下可以考虑将被积函数的分子分母同时乘以某个函数倍因子。

[例]求不定积分

分析：

=

的主要部分求导后刚好等于 ，凑微分成功

解：原式= = =

[例]計算不定积分

[分析]由于 ，所以考虑将分子分母同时乘以函数

解：原式

二、第二类换元积分法

定理 设 单调、可导，并且 ，又设 具有原函数，则

在第二类换元积分法中，关键在于如何找到合适的变换 ，常见的情形有

（1）被积函数含有二次根号式 ， ， ， 利用三角代换

令

令

令

令

注意：在利用三角代换解题时，进行变量回代，要用构造三角形法。

[例]求

[分析]被积函数中含有二次根式 ，因此采用三角代换

解： ，则

原式

（2）如果被积函数含有 ， ，

令整个根式

如果同时含有 ， ，设 ，令

[例]计算

[分析]被积函数含有一次根式 ，因此采用整体代换去除一次根式

解：令 ，

原式

[例]计算

[分析]同时含有 ， ，令

解：令 ，

原式

（3）当分母的幂次比分子的幂次至少高一次时用倒代换

[例]计算 （ ）

[分析]被积函数中分母的幂次比分子的幂次高三次，因此采用倒代换

解：令 ，

原式=

=

参考文献：

[1]李永乐.2014年数学复习全书.北京：中国政法大学出版社，2013

[2]陈文灯 黄先开.考研数学复习指南。北京：世界图书出版公司北京公司，2008

通讯作者：吴常虹