关于等价无穷小代换定理及其补充

蒋银山

摘要：等价无穷小的代换是指在极限运算过程中某些无穷小因子用其等价的无穷小来代替，已达到简化计算的方法。

关键词：等价无穷小；极限；麦克劳林公式

“等价无穷小代换法”是指在极限运算过程中某些无穷小因子用其等价的无穷小来代替，已达到简化計算的方法。在实际计算过程中利用“等价无穷小代换法”与其它方法相结合，不失为一种行之有效的方法，但并非计算过程中所有的无穷小都能用等价的无穷小代替来进行计算。特别是在加减中一般不能用“等价无穷小代换法”而用麦克劳林公式。

一、等价无穷小代换定理及推论

为了叙述方便，以下讨论中极限过程都是指同一个变量的变化过程，对于等价无穷小的代换有：

定理1：设 若 存在，则 存在，且 。

推论1：设 若 存在，则 存在，且 。

推论2：设 若 存在，则 存在，且 。

例1求

解： 时

例2求

解： 时

（这是一种典型的错误）

因为等价无穷小的代换在乘除中可以随便用，加减中要慎用。那么在加减中该如何用等价无穷小的代换呢？

二、和差运算中等价无穷小代换定理

为了解决这个问题，下面对 或 中 可以分别作等价无穷小代的条件进行讨论。

定理2： 且 ，则

（1）若 ，则 ；

（2）若 ，则 。

和差项并不是绝对不能用等价无穷小的代换，只须验证条件，原则是代替后的整体与原来整体等价。

例3求

解：

例4求

解：

三、 且 ，则

（1）若 ，则 与 不等价；

（2）若 ，则 与 不等价。

此时不能用等价无穷小的代换，需用麦克劳林公式或泰勒公式。

例5：求

解： 不能用

而

例6：

解：

参考文献：

[1]燕春霞，卫艳荣： 等价无穷小代换定理的补充[J]，济源职业技术学院学报，2012（9）.

[2]汤家凤，《高等数学辅导讲义》[M]，中国原子能出版社，2013（2）.