对线性代数的研究性教学法的若干思考

王高振

【摘要】首先尝试对线性代数的研究性教学法的若干思考与建议，其次从几个方面阐述开展研究性教学法的必要性，最后给出线性代数的研究性教学法的若干措施与建议。

【关键词】线性代数；研究性教学法；合作探究学习

【Abstract】Firstly we try to give some thoughts and suggestions on the research teaching method of linear algebra， secondly from several aspects explain to the necessity of research teaching method， finally give some measures and suggestions on the research teaching method of linear algebra.

【key words】linear Algebra；research teaching method；cooperative inquiry learning

【中图分类号】O1-4 【文献标识码】B 【文章编号】2095-3089（2017）14-0027-02

线性代数是理工科专业学生的一门重要的数学基础课程，能培养学生抽象逻辑思维能力和科学创新能力。线性代数这门课程有着它独特的抽象美、逻辑美、缜密的严谨，从而也造就了想把它学好需要下很大的功夫。笔者在多年的教学实践中发现大多数学生在学习线性代数中感到困难重重和枯燥乏味，而这种现象存在的根本原因在于学生没能掌握学习线性代数的正确方法。而研究性学习是在教师的引导下，以问题解决为中心，以学习合作探究为特点，用合作探讨的方式去主动获取知识与解决生活中的实际问题。鉴于此，这就要求广大的数学教育工作者在线性代数课程的教学实践中勇于尝试研究性教学方法，在文献[1]，[2]，[5]中，作者都从自己的教学实践中提出对线性代数的研究性教学法的策略和建议。本文也就线性代数的研究性教学法做些若干思考和建议。

一、开展线性代数的研究性教学的几个步骤

1.研究性教学中应着重细节的培养

俗话说得好“细节决定成败”，所以我们在教学中应注重对学生处理细节能力的培养，只有把细节做好，才能開展线性代数的研究性教学和学习，否则就像地基没打好就在上面盖房子注定房子会倒塌一样。在笔者多年教学中发现存在一种非常普遍的现象，就是有一部分学生在学习完线性代数这门课程后，仍然对行列式与矩阵的记号不分。还有行列式运算中每步都应该用等号连接，但还是好多学生都用箭头来连接。而在矩阵变换中每步都用箭头连接，但还是好多学生都把它用等号连接。这些看似无关紧要的小毛病，严格来说这些都是致命的错误。所以我们在教学中应注重学生对细枝末节的处理技巧，不应在细小的环节上栽跟头呀！

2.研究性教学中应讲透概念的本质

概念是线性代数这门课程的奠基石，只有对概念理解透和掌握，才能学习起来线性代数这门课程得心应手。而传统教学往往忽视了这一点或者做的不够这么好，这就要求在研究性教学中应加强对概念理解的训练，从而要求老师一定要先把概念讲清，然后列举针对所讲的概念的例子让学生参透概念的本质，弄清概念的来龙去脉。比如很多人认为克莱姆法则徒有华丽的外表，而没有多大的实际应用。殊不知它的理论性很强，但告诉我们什么样的方程组满足特定的条件就存在解，并且解可准确的解出，它给我们探讨一般方程组解的存在性问题提供了可借鉴的思想源泉。再比如讲到矩阵的方幂时一定要再次强调矩阵乘法的前提，只有理解到这一点才明白为什么只有方阵才可以有幂。研究性学习中应多注重与平行的知识点的串并联学习，倒不是一味的模仿，不然就会掉进“陷阱”里。如数的简便运算公式，，等并不能简单地搬到矩阵的幂中，这时老师可以抛砖引玉地向学生抛出问题“这个等式是否正确”，让学生动手动脑分组研究讨论，老师从侧面引导学生从矩阵的幂的定义本身出发思考这个问题，表示2个的乘积，然后熟悉运用矩阵乘法就可以得到，从而加深学生对该知识点的牢固掌握。

3.合理设计教学过程，注重学生合作探究学习

如讲到矩阵的秩，应着重强调秩是矩阵的本质属性，否则学生会认为秩是人为赋予矩阵的特性。k阶子式的概念也应着重强调，它来源矩阵，但却有着与母体矩阵完全不同的性质，这是因为k阶子式为k阶行列式而非矩阵。对矩阵的秩的概念讲解时定要逐字逐句地分析，一定把概念的本质清晰准确地向学生传达，为A中至少有一个r阶子式不为零，且它的所有的r+1阶（若存在的话）全都为零，应强调“至少”和“所有”两个字眼，然后向学生抛出问题“设，那么A的r+2， ，r+3，…阶子式应为多少？”，引导学生得出上述的结论应为全都为零，从而为A的非零子式的最高阶数，然后可以启发引导学生借助图像把结论形象地表示出来。

在研究与的特征值与特征向量有何联系时，教师可以设置问题情境，合理引导学生开展合作探究学习。先提示学生从特殊的矩阵出发探讨得出结论，然后把得出的结论是否可以推到一般的矩阵。具体为若为实对称矩阵，则与有完全相同的特征值和特征向量，这一特殊结果是否具有一般化呢？启发学生应该紧抓矩阵的特征值与特征向量的本质定义出发，合作探究，从而推测得出关于一般矩阵与其转置矩阵的特征值与特征向量间的关系的正确结论。该如何证明呢？让学生分组来进行讨论，引导学生从矩阵的所有的特征值都为它的特征方程的根的角度出发，得出根据得出与有相同的特征值，但是通过上述式子未必得出与一定有着相同的特征向量，这时因为特征向量应为其所对应的齐次线性方程组的非零解，如果从这一点出发似乎问题不怎么好解决，原因就在矩阵是泛指的，从而方程组也是不具体的，如果这时仍从正面解决问题，似乎走进了死胡同里，这时就应要求审时度势地启发学生从问题的反面来思考，即举了简单地反例来说明与未必有着相同的特征向量。endprint

通常求矩阵的逆的方法就是，但是好多学生都不能真确地写出。这因为在他们的脑海里并没有真正地领悟到的真谛，构造就是把行列式和矩阵巧妙地融合在一起，而矩阵的逆的定义并没有给出行之有效的求逆矩阵的方法，只是告诉逆矩阵存在的条件，而行列式展开定理告诉我们一个很漂亮的结论，即一行（列）各元与其代数余子式的乘积之和为行列式的值；即一行（列）各元与另一行（列）代数余子式的乘积之和为零。从而借助这一漂亮的结论来构造方阵的特殊伙伴—伴随矩阵，并且两者有着完美的性质，与逆矩阵定义中的等式有着惊人的相似，从而启发我们可以从这里寻找求逆矩阵的方法。

当我们让学生分组讨论线性方程组的解会有多少情况时，可以启发学生从几何的角度出发，（1）和（2）分别代表平面上的直线方程，而平面上的任意两条直线的位置关系有：相交，平行，重合。而该方程组的解就为（1）和（2）所代表平面上的两直线的交点的坐标。从而决定了该方程组的解只有3种情况：惟一解（相交），无解（平行），无穷解（重合）。反过来也可以通过方程组的解来判别平面上的两直线的位置关系。在学生掌握二元线性方程组的解的情形后，启发学生能把上述结论推广到通过来讨论3维空间中的3个平面的位置关系，并让学生写出相应的研究报告，从而可以锻炼学生的发散思维的能力和创新研究的能力。

4.研究性学习中应注重知识点的串并联

行列式和矩阵是线性代数的两个重要的基本工具，后续内容基本上都围绕这两个知识点展开和加深的。学生往往学习起来感到非常困难，原因就在忽视了知识点的梳理和串并联，因为线性代数的好多知识点是承前启后的和彼此关联和相似的。在线性代数研究性教学中让学生做好知识点的梳理和串并联，能给他们学习线性代数带来很大的便捷。比如向量可由向量组：线性表出的充要条件为线性方程组有解，所以线性表出只是比解非齐次方程组多披了一层神秘的面纱而已。向量组：线性相关的充要条件为线性方程组有非零解，所以线性相关只是比解齐次方程组多披了一层神秘的面纱而已。让学生勇于拨开云雾见青天发现问题的本质，找到与之相关较容易的知识点来解决。在研究性学习中让学生养成善于发现问题和知识点的横纵向的串联与类比，从而可以做到知识的巩固和加深与升华。

二、结束语

在线性代数研究性教学中应时刻以学生为主体，教师为引导的基本发展策略，充分挖掘学生的内在潜能，激发学生主动接受知识的主观能动性，向课堂教学要最大的效率。同时在线性代数研究性教学中要注意学生的个体差异的实际情况，按照学生的发展实际情况把他们分成若干个讨论小组，注意到学习小组间的均衡发展和良性竞争，发扬小组间互助互利的优良传统，结合教師适量适度地引导和启发，从而达到每个学生都能得到最全面的发展和创新潜能的最大程度地被开发出来，最终线性代数的教学效果收获到最完美的效果。

参考文献

[1]李尚志.从问题出发引入线性代数概念[J].高等数学研究，2008，（9）：6-15.

[2]同济大学应用数学系.线性代数[M].北京：高等教育出版社，2009.

[3]胡冠章，王殿军.应用近世代数[M].北京：清华大学出版社，2006.

[4]孙杰.应用型人才培养中的线性代数课程教学模式的研究与实践[J].赤峰学院学报，2009，（25）：21-22.

[5]周全华.浅析线性代数的高效教学方法[J].数学学习与研究，2013（15）：13-14.endprint