关于分段函数不定积分求法的若干思考

李一帆

【摘要】分段函数是高等数学中比较常见的一种函数类型，其连续性、可导性以及原函数的存在性等方面问题的判定都较为复杂。本文主要通过举例推算对分段函数不定积分的求法进行简单研究，从而为分段函数不定积分的求解方法提供一定的参考。

【关键词】分段函数；不定积分；求解方法

【中图分类号】O172.2

1 引言

在高等数学教材中，分段函数是其中一种非常常见的函数类型。关于分段函数不定积分方面的问题，一直是研究者们普遍关注的一个重要问题。例如：对于在某个区间内的一个连续性的分段函数不定积分的求解方法，在实际求解过程中，往往会忽略分段点处所求原函数是否为连续函数的情况。例如数学课程中就有这样一个比较经典的例子：

，

上述的求解方法乍看没什么问题，但是却忽视了分段点处所求原函数是否为连续函数的情况，由此，可将上述求解方法作如下更正：

对于一个函数而言，可导必连续，此时记C1=C，从而可得：C2= +C，进而有：

这里，虽然上述结果解决了原函数在x= 2kπ+ 处连续性方面的问题，但经过仔细验证发现，原函数在x= 处不连续，分析再次出现错误的原因主要有二：（1）計算积分常数的方法不对。在实际计算过程中，应使用全部分段点来对积分常数加以确定，如果仅使用分段点来对积分常数进行确定，则无法保证所求得的原函数为连续函数。（2）不定积分表示方法有误。由于被积函数存在无穷多段，而每段上积分常数均存在一定的差异性。所以，应使用与不定积分段数相同的常数来表示不定积分。

2 间断点性质法

分段函数不定积分在求解时，应首先分别求解出函数在各个分段点处的不定积分，然后验证一下被积函数在分界点位置是否具有连续性。如果所求得的不定积分连续，那么在包含该点的区间范围内原函数应按照函数所具有的连续性，将积分常数求解出来即可。如果分界点为被积函数的第一类间断点，那么在区间范围内，原函数则不存在。下面主要分第一间断点与第二间断点条件下对分段函数的不定积分求解方法进行例证分析。

2.1 第一间断点

例如， ，求解： .

该例属于第一间断点类型，由此可以根据第一间断点的相关特点，作如下计算：

解： 在 以及（0，+∞）两个区间内的原函数为：

根据分段函数 的已知条件可以得知，该函数在分界点x=0处是连续的，因此， 在x=0处也具有连续性，且有定义，从而可以得出如下结果：

， .

由上两式可以得出， ，可记 ，则： .

所以，可得 解为：

2.2 第二类间断点

分段函数 ，除了在分界点处不连续外，其他各点均连续，且分界点属于第二类间断点。如果在分界点处存在振荡积分，那么由此分段函数所确定的原函数属于连续函数。如果在分界点处不存在振荡积分，那么由此分段函数所求得的原函数属于不连续函数。下面通过举例来说明此种情形下分段函数不定积分的求解方法：

例：已知分段函数： ，求 .

函数 属于第二类间断点的类型，因此可以采用如下方法进行求解：

解：由于x=0属于函数 的第二类振荡间断点，但是 及 均存在（其中a>0），因此原函数为连续函数。因此，可求解如下不定积分：

其中， .

3 方程或方程组求解法

已知函数 为区间I上有n个分段点的连续分段函数，那么由此可以得到n+1个任意常数间的n个方程，通过求解方程或者方程组便能够对任意常数间所存在的关系加以确定，从而求出不定积分。上述求解分段函数不定积分的方法被称作为“方程法或者方程组法”。下面通过实例来阐述方程或者方程组法在分段函数不定积分求解中的应用。

例：不定积分：

解：当x≤-2时， =0；当x∈ 时， = ；当x∈ 时， = 。由此可以计算分段积分为：

由原函数在各个分段点的连续性可以得出如下算式：

， ， ， ，记：C1=C，则有： ， ， ， .

参考文献：

[1]陈建莉，柳卫东，分段函数不定积分求法探讨[J].高等数学研究2008.11

[2]喻德生，余英姿，关于连续分段函数不定积分的求法[J].高等数学研究2008.11

[3]张令元，张彬，分段函数的导数与不定积分[J].商丘职业技术学院学报2007.10