一题多变天地宽

夏玲

【摘要】一题多变是指在教学过程中，利用变式手段对问题、公式、概念、定理等从不同角度、不同层次或不同背景进行有效的变化，保持本质特征不变.一题多变以某个问题探究为中心，通过研究一个问题的多种解法或同一类型问题的相似解法，有助于拓展学生思维的广度和深度，训练学生触类旁通，提高学生思维敏捷性、灵活性和深刻性，是培养学生创新思维能力的有效途径之一.

【关键词】一题多变 深挖例题 创新思维

【中图分类号】G634.6

【正文】

学数学，离不开解题，但我们在平常的教学中不能唯解题而解题，要寻求一题多解与一题多变，通过一题多解选择最优解题策略，拓宽视野、培养学生的发散思维能力和创造性思维.

在“教育减负”的大背景下，改變以“量”取胜的传统课堂教法.因此对课堂例题进行深加工，以“质”取胜，采取一题多变或者一题多解，训练学生思维的广阔性、深刻性、灵活性，实现用最少的时间让学生获得进步与发展.

一、 对解题方法进行深入挖掘和研究，做到一题多解

同一个题目从不同的角度去分析研究，同一问题的不同解法，可以引出相关的多个知识点和解题方案，联想越丰富，思路越广，在多种思路中，比较优劣，选取捷径，形成巧解妙证，培养学生的创新意识和创新思维能力.

【例1】证明：等腰梯形的两条对角线相等.

对于这道题目，我不是简单地就题论题，而是采用多种证法与学生探讨.方法较多，基本思路是利用到等腰梯形中常见的辅助线，将等腰梯形加以分割为三角形或平行四边形进行证明，利用三角形全等证明边相等.

简析1：∵在梯形 中， ， ， ，

简析2：如图1，作 垂足分别为 ， ∥ ∴AE=DF∴△ABE≌△DFC（HL）∴BE=CF，∴EC=FB∠AEC=∠DFB，AE=DF，∴△AEC≌△DFB（SAS）∴ .

简析3：如图2，作 ，再证△DBE为等腰三角形.

简析4，如图3，延长两腰交于E，证明 .

简析5：如图4，取 的中点 ， 的中点 ，作 ∥ ，NF∥CD再利用轴对称等有关的知识去证明。

通过对本题多种证法的探究，不仅复习了几何当中几个重要定理的用法，而且培养了学生善于从不同角度思考问题的习惯，学生的自主意识和积极性得到了充分的发挥，收到了良好的教学效果.

二、变换例题、习题的条件或结论，做到一题多变

多题归一，培养学生思维的严密性.它可以使学生感觉到某些知识点的核心之处，也并非就是那几个小结论，需要将它的内涵与外延挖掘彻底，灵活运用，从而使学生学习数学更有信心，不至于被大量的习题弄得无所适从.

1、 改变题设或结论

即通过对习题的题设或结论进行变换，而对同一个问题从多个角度来研究。

这种训练可以增强学生解题的应变能力.

【例2】练习：（1）如图5，在 中， ，点 是 边上任意一点， .求证： .

变式1：（如图6）△ABC变为等边三角形；

变式2：（如图7）点 在 内；

变式3：（如图8）点 在 外.

这三个变式分别改变了三角形的形状和点 的位置，但是求证的结论不变.

2、 改变题型

即将原题重新包装成新的题型，改变单调的习题模式，从而训练学生解各种题型的综合能力，培养学生思维的适应性和灵活性，有助于学生创新思维品质的养成.

如图9：在 中 是 边上的高.求证： .

分析：本题为证明题，具有探索性，可引导学生从结论出发找到需证明 ∽ ，从而使问题变得容易解决。

变换一：改为填空题，在 中 是 边上的高，则线段 满足的数量关系是__________.

变式二：改为选择题：在 中 是 边上的高。则下列关系式错误的是（ ）

A. B.

C. D.

变式三：改为计算题：在 中 是 边上的高.已知 =4， =6，求 的长.

变式四：改为填空题，在 中 是 边上的高. 是AB边上的高，那么 的结论还成立吗？

变式五：改成开放题，在 中 是 边上的高，则图中有哪些线段是另外两条线段的比例中项？

把同样的数学思想方法渗透到不同的题型中，既锻炼了学生适应不同题型的能力，又加深了对数学思想方法的理解运用，既激活了学生的思维，又活跃了课堂气氛，看似浪费了时间，实质触及到思维，收到了事半功倍的效果.

三、以点串线，一题多变，形成知识联系体

数学知识之间的联系往往经常隐藏于例题或习题之中，教学中如果重视对课本例题和习题进行必要的挖掘，通过一个典型例题进行拓展，尽可能覆盖知识点，把分散的知识点串成一条线，往往会起到意想不到的效果，利于学生知识的建构.

【例3】依次连接任意四边形各边中点所得的四边形称为中点四边形。求证：平行四边形的中点四边形是平行四边形.

变式1求证：矩形的中点四边形是菱形.

变式2求证：菱形的中点四边形是矩形.

变式3求证：正方形的中点四边形是正方形.

变式4求证：等腰梯形的中点四边形是平行四边形.

通过这样一系列变式训练，使学生充分掌握了四边形的基础知识和基本概念，强化了常见特殊四边形的性质、判定、三角形中位线定理等，极大地拓展了学生的解题思路，活跃了思维，激发了兴趣.

【例4】如图10：在☉ 中， 是直径， 是弦， 为垂足，你能推出哪些结论？（要求：不添加辅助线，不添加字母，不写推理过程）

这样一道开放性的题目，学生可以从多个角度综合考虑，比如：等角、等边、等弧、全等三角形、相似三角形、比例线段等等多方面的结论.并不复杂的图形，虽然不要求些推理过程，但在实际分析过程中蕴含着丰富的思维和推断过程，能提升学生的观察、猜想、推断和验证能力.

四、一题多用，培养应用意识

所谓一题多用，指的是那种尽管表面看起来形式并不一致但它们的求解思路相同或完全相同.一题多用则是使知识系统化，提高归纳综合能力、培养应用意识的有效途径.

【例5】四个点 在一条直线上，图中有几条线段？这是我们已解决的问题，共有 条线段，运用这个数学模型，可以解决其他数学问题。

例如：（1）全班30个同学，每两人互握一次手，共需握手多少次？

（2）甲、乙两个站点之间有5个停靠站，每两个站点之间需准备一种车票，则共需准备多少种车票？

（3）一共有10支足球队参加“环球杯”足球赛，进行单循环比赛（每两个队都进行一场比赛），最后一共要举办多少场比赛？

以上一系列问题，都可以通过建立同一数学模型来解决，不仅培养了学生归纳整理的能力，而且深化了学生建模思想和应用数学模型的意识。

总之，在全面推进课程改革的今天，教师应善于捕捉课本中典型例习题，加以研究和再利用，进行一题多变教学，促使学生形成良好的思维习惯，为培养学生的个性特征和创新思维能力创造更丰富的机会，这正是“一题多变天地宽”.endprint