函数极值点个数问题的解法探究

王东刚

【分类号】O174

2015年山东省高考数学理科导数试题的第一问考查了函数极值点个数的问题。研究发现考试院所提供的参考答案不易想到，对于学生来说在有限的时间内解决这类问题是有困难的。笔者根据这类问题的特点尝试使用了分离参数的方法，得到了比较简捷的解法。现将对这类问题的解法和思考与读者进行分享，不当之处请批评指正。

对这类问题，我们可以先给出下述解题思路：

由此可见，“函数的零点、极值点及方程根的问题”是可以互相转化的。此种解题思路主要用到了“函数与方程”、“化归转化”、“数形结合”等重要的数学思想方法。其解决问题比较简单和易操作的原因在于通过分离参数实现了研究水平的动直线与固定的曲线之间的位置关系问题，非常直观形象。其难点为研究固定函数 的图象，很多时候函数 并不是基本初等函数，而是由基本初等函数复合或者加减乘除得到的新函数，因此研究图象需要通过导数研究其单调性、极值、最值、上下确界等性质。

【例题】（2015年山东理）设函数 ，其中 ，讨论函数 极值点的个数.

【解法一】因为 ，所以 ，

令 ，易见 不是函数 的极值点，

所以可得 ，

令 ，则 ，

所以 在 上递减，在 和 上递增，

所以当 时， ，

且当 时， ，当 时， ，

当 时， ，

所以 在定义域内的图象（如图1）大致为：

所以当 时函数 仅有一个极值点，

当 时函数 无极值点，

当 时函数 有两个极值点.

在这里特别需要强调的是导函数 的零点并不一定是函数 的极值点，而是导函数 的异号零点才对应函数 的极值点。因此方程 =0的根及函数 与函数 图象公共点，必须对应导函数 的异号零点。

其实分离参数的实质是分离参变量和主变量，等式左侧可以是关于参数的一个函数表达式，右侧是关于主变量的一个函数表达式。如果主变量的一个函数表达式不易研究，可以适当地变换形式，以达到容易研究右侧函数的性质和便于画出其图像的目的。上述解法一分离参数后，右侧的函数研究起来较为复杂，还涉及到函数的渐进线及趋向，对高中生来讲还是有一定难度的。基于此因，我们可以给出以下解法：

【解法二】因为 ，

所以 ，

令 ，

则 ，令 ，

所以 在定义域 上的图象（如图2）大致为：

所以当 即 时函数 仅有一个极值点，

当 即 时函数 无极值点，

还易得：当 时函数 无极值点，

当 即 时函数 有两个极值点.

笔者还要说明的是分离参数并不是适用解决所有函数零点和方程根的问题，例如2009年山东的一道填空题：（2009年山东）若函数 （ 且 ）有两个零点，则实数 的取值范围是 .

本题如果分离参数 显然是无法实现的，而此时可以转化成方程 （ 且 ）有两个不同的实根，再转化成函数 （ 且 ）与 的图象有两个不同的公共点，不难得到 .所以我们研究问题时要因题而异，辩证施治。

有的读者可能会提出“研究非水平动态直线（定点直线系或者斜率不为0的平行直线系）与固定曲线的位置关系是否可行”，笔者仍然提出“因题而异，辩证施治”的观点。举一个简单例子加以说明，例如：“若函数 与 的图象在区间 内有公共点，求实数 的取值范围。”如果画函数图像时不精确，很容易把 的最小值误认为是图3所示所对应的 的值，其实是图4所示所对应的才是 的最小值，图5所示对应 的最大值。由此可以看出，导致出错的原因是当函数的单调性确定后，容易忽略函数的凹凸性，即使注意到了函数的凹凸性，有些函数也难以研究凹凸的程度。

而如果令 ，通过分离参数得到 就比较简单了，易得

所以笔者提出以下观点，在解决函数的零点、极值点及方程根的关系问题时优先考虑分离参数的方法，如果分离参数不容易实现或者分离后依然不好解决问题，再考虑以下解题思路：（1）研究函数图象本身与 轴的位置关系问题；（2）研究非水平的动态直线（定点直线系或者斜率不为0的平行直线系）与固定（动态）函数曲线的位置关系问题；（3）研究动态曲线与固定（动态）曲线的位置关系问题。总而言之，我们不能固化地研究某一类问題，而要因题而异，辩证施治，采取简捷有效的解策略。