高中数学函数单调性的解法分析

陈玲

摘要：高中数学的函数单调性是历年高考当中必考的重要项目之一，通过对大量高考试卷的统计分析，可以发现对于函数的现行的考察包括了对其单调区间、单调性、分段函数的最值和极值等很多方面，十分的灵活多变。因此，在平常的高中数学教学当中，对于函数单调性解法的教学一定不能过于单一。教师应当指导学生灵活的对函数单调性的定义进行利用，寻找多种不同的解题方法。本文分析了高中函数单调性的作用，并提出了几种不同的解题方法。

关键词：高中数学；函数单调性；解法

【分类号】G634.6

前言：在近几年的高考当中，对于函数单调性、单调区间、最值和极值等方面知识的考察十分的重视，数学试卷中关于函数单调性的题目所占比例也在不断的增加。由于高考对于函数单调性的考察多种多样、十分灵活，所以学生在平常的学习中，一定要充分理解函数单调性的概念和特点，掌握扎实、牢固的函数相关基础知识。同时教师在课堂教学中要对相关知识点进行深入的剖析和详尽的讲解，尽量的让学生掌握更多的函数单调性解题方法，从而应对高考中的各类相关试题。

1.函数单调性的定义和应用

1.1函数单调性的定义

高中数学教材中，对函数单调性的定义是：设函数y=f（x）的定义域为A，且区间I?A。对于区间I内的任意两个值x1和x2，如果当x1f（x2），那么y=f（x）在区间I中就是单调减函数，区间I就是函数y=f（x）的单调减区间。如果y=f（x）在区间I中是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f（x）在区间I中具有单调性。在函数的单调区间内，如果是單调增函数，其函数图像是上升的，如果是单调减函数，则其图像是下降的。

1.2函数单调性的作用

在初中时，我们学过一次函数和二次函数，通过对其图像的分析，对函数的增减性有了一个初步的了解。进入高中之后，系统的对函数单调性的知识进行了学习，通过数形结合的方式进一步了解了函数单调性的含义[1]。函数单调性是对自变量变化的研究，学生在以后学习不等式和导数等其它数学知识的时候，都会用到运用函数单调性的相关知识，在考试做题中，也会大量的用到函数单调性。

2.函数单调性的解法

2.1利用函数单调性的定义的解法

利用函数单调性的定义是一种比较直接、有效的解题方法。要想解析函数的单调性，首先就要确定其区间范围。其次要注意对于带有无理式的函数，在利用定义解题的过程中，要注意无理式的有理化。

例如：已知函数f（x）=根号下（x2+1）-ax（a>0），证明当a=1时，函数f（x）在R上是减函数。在解答这道问题的时候，就要用到无理式的有理化。由题可知，当a=1时，f（x）=根号下（x2+1）-x=（根号下（x2+1）-x）*（根号下（x2+1）+x）/（根号下（x2+1）+x）=1/（根号下（x2+1）+x）。当x递增时，f（x）递减，因此，函数f（x）在R上是减函数。

2.2利用函数图像数形结合的解法

在函数的图形中，在特定区间内，如果y随着x的增加而增加，那么函数在此区间内单调递增。如果y随着x的增加而减少，那么函数在此区间内单调递减。试题当中对于函数单调性的考察虽然比较灵活，但究其根本也只是对一些简单的基础知识进行结合[2]。因此，高中生在平时的学习当中，要充分的理解和掌握函数单调性相关的基础知识，并且学会将其融合在一起进行分析和理解。

对于函数f（x）=5/x，它的函数图像是关于原点对称的奇函数图像，因此，在对称区间内，其单调性是一致的。而函数f（x）=x2，由于其是偶函数，因此，在对称区间内，其单调性是相反的。

例如：已知函数f（x）=x（1/（2x-1）+1/2）且x>0，判断函数f（x）的奇偶性并求证f（x）>0。在解答这道题的时候，通过画出函数图像，可以简单的判断出该函数为偶函数。在求证f（x）>0时，因为x>0，所以2x>1，所以2x-1>0。由此可以得出1/（2x-1）+1/2>0，又因为x>0，所以x（1/（2x-1）+1/2）>0，因此可得出当x>0时，函数f（x）>0。

2.3利用复合函数的解法

在高中数学当中，对于复合函数的定义是：函数y=f（g（x））是由函数y=f（t）和函数t=g（x）两部分组成的。其中t=g（x）是其内层函数，y=f（t）是其外层函数。根据定义，如果内层函数和外层函数的单调性不一致，该复合函数就单调递减[3]。如果内层函数和外层函数的单调性一致，该复合函数就单调递增。

例如：判断函数f（x）=3的（x2+1）次平方的单调性。在解题时，应先将该复合函数分解成外层函数f（t）=3t和内层函数t=x2+1。由于内层函数t=x2+1的是关于y轴对称的偶函数，因此在区间（-∞，0）中单调递减，在区间（0，+∞）中单调递增。而由于外层函数f（t）=3t是指数函数，因此其在（-∞，+∞）中单调递增。根据复合函数的定义，可知，在区间（-∞，0）中，函数f（x）=3x2+1为单调递减。在区间（0，+∞）中，函数f（x）=3x2+1为单调递增。

2.4利用导数的解法

导数是解决函数单调性问题的一个十分有效的数学工具，它为解答函数单调性问题提供了很多新的思路。如果函数y=f（x）在区间（a，b）中可导，且其导函数大于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递增。如果其导函数小于0，就可得出函数y=f（x）在区间（a，b）中单调递减[4]。

在实际应用中，利用导数法解决函数单调性的问题，可以做到步骤明确、思路清晰，十分简便和容易。例如：设函数f（x）=lnx-ax，g（x）=ex-ax，其中a为实数。如果f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，且g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，求实数a的取值范围。这道题在解题时，由题目可知，f（x）=1/x-a=（1-ax）/x。由于函数f（x）的定义域为（0，+∞），且函数f（x）在区间（1，+∞）中单调递减，可以得出a>0。设f（x）<0，则x>1/a，因此f（x）在（1/a，+∞）中单调递减。又因为f（x）在（1，+∞）中单调递减，所以（1，+∞）?（1/a，+∞），可得出1/a≤1，因此a≥1。设g（x）=0，可得出x=lna。如果xlna，g（x）>0，g（x）单调递增。由于g（x）在区间（1，+∞）中存在最小值，所以lna>1，可得出a>e。综上所述，可得出a的取值范围为（e，+∞）。

总结：高中数学离不开函数单调性，对函数单调性的研究和解析更是高考当中的重点。对于函数单调性的解法有很多，只有充分的掌握函数单调性的基础知识，熟知其各种解法，才能在实际中应用，应当根据题目的特点，有针对性的选择合适的解法，从而轻松解决函数单调性的问题。

参考文献：

[1]王保国.函数单调性判断的方法[J].数学爱好者，2010.