以复习二元一次方程组为例谈数学作业的设计

陈芳群

摘 要：本文就复习二元一次方程组为例，以引导预习、意在诊断、形成讨论、促进知识体系形成的数学作业的设计进行一些实践探讨。

关键词：数学作业；设计

教师布置一般的作业多为统一布置，忽视个体差异，功能单一，过于倚重训练，意图不明，事先未加筛选，有时过于功利，背离了学习意义，加上在批改和讲评方法上实效性不高，有时还题量过多、形式枯燥、内容偏难偏怪等，导致学生厌烦。另外，作业的不同设置会影响学生的学习情绪，进而影响他们理解能力的提高。因此，数学作业要精心设计，依据学生的实际水平安排训练内容，充分发挥数学作业的功能。尤其在复习课时，更要善于把那些来自学生、来自课堂教学过程中的问题编入作业中去。

在数学课堂教学中，作业应该是紧扣新课标的有效作业，是适合自己的学生的作业，是有引导预习、意在诊断、形成讨论、促进知识体系形成的作业，以通过作业达到激发学生学习兴趣、开拓思维、培养学生创新能力的目的。本文以复习二元一次方程（组）解法为例谈谈作业设计。

一、引导预习的作业设计，激发学生学习的兴趣

课堂导入作业的设计应该要以教学目标，学生已有的认知水平，教师自身的优势为依据。学生新授课时已学习了二元一次方程组的基本套路是消元，把二元转化为一元，代入消元法和加减消元法是最基本的两种方法。本节复习课是要进一步研究二元一次方程组的解法，然而两种基本解法仍是我们研究二元一次方程组新解法的重要理论依据。为了打好这个基础，我为学生设计了引导预习的作业。

案例1：解方程组2x+3y=73x+2y=8

通过此题复习巩固两种基本解法（大部分学生会用代入法或加减法）。利用一个方程组引出两种解法，直观对比。并归纳化归思想，使学生在脑子里形成知识网络和解题思想。等学生解完后我又提问：

运用刚才的方法你能求出方程组361x+463y=-102463x+361y=102的解吗？

学生很快意识到若继续用基本方法去求x、y的值将会是一个非常麻烦的过程。于是激起了学生的好奇心，想要去寻找一个行之有效的方法，同时也感受到了学习新知的需要。这样引出课题为接下来的探究学习做好了情绪上的准备。

新解方程组2x+3y=73x+2y=8

引导学生探究新解法，让他们深入分析这个方程组的结构特征，并结合消元思想寻找它们之间的联系。两个方程相加化简后可得x+y=3，第二个方程减第一个方程可得x-y=1。

于是原方程组的同解方程组为x+y=3x-y=1 易得x=2y=1

通过此解法的探究让学生知道加减法的作用不仅仅是消元，还能把方程组化为更加简单的同解方程组，使运算简便提高解题的速度和正确率，感受到了消元的灵活多变，刚才不会解的方程组也迎刃而解了，激起了学生继续探究的愿望。

案例2：解方程组■=■4x+3y=14

C类学生：用代入消元法或加减消元法求解；

B类学生：用代入消元法或加减消元法求解，思考新解法；

A类学生：尝试寻找新解法。

此题对于B类、C类学生而言是再次巩固基本解法，让A类学生探索新解法（引导运用引参法：把第一个方程的比值设为K，把X、Y都用K表示出来，再代入第二个方程求出K，从而求出X、Y的值）。

（A、B、C类学生是按照学生平时的数学学科学习能力进行分层的。）

预习作业的设计是考虑到每个学生的数学基础不同，遵循以人为本、因材施教的原则，对不同的学生提出不同的作业要求。本节复习课就是要让学生灵活掌握代入消元和加减消元这两种消元方法。二元一次方程组问题非常容易和一元一次方程、函数解析式、函数图像交点坐标等问题整合，作为一种常用工具学生需熟练掌握。此作业能够面向全体学生，能在比较轻松的解题过程中巩固这两种方法，为整节课作好开路先锋。

二、意在诊断的作业设计，促使学生知识的理解

对知识没有理解就不能从本质上把握知识，只能运用所学知识解决一些简单的数学问题。反之，能够抓住数学知识的本质，就能够运用所学知识解决一些综合性的问题，从而表现出运用知识的灵活性。随着初中数学课程学习的不断深入，数学的抽象性越来越强，许多学生对数学学习也只是停留在表面不夠深入，要想改变这种现状，教师在设计作业时要注重学生对数学知识的理解。

案例3：解方程组2（x+y）-3（x-y）=34（x+y）+3（x-y）=15

C类学生：选择自己喜欢的方法求解；

B类、A类学生：利用消元思想寻找更加简便的求解方法。

根据方程组的结构特点，让B类A类学生探索用整体代入（换元）法求解。不同同学在课堂上采用了基本解法求解，加减消元化为更简单的同解方程组来求解，以及利用换元化成两个简单的方程组来求解等方法。不同的解法反映了学生对消元思想不同层次的理解。无论运用整体代入解法还是运用换元的方法都是比较简便的解法，这种方法突破了学生循规蹈矩、按部就班的思维定式，但又借助于代入消元法和加减消元法的基本原理，认真分析观察了方程组的结构特点，运用整体代入，同样达到了消元的目的，这样能使复杂问题简单化，充分体现了思维迁移的灵活性。

三、形成讨论的作业设计，促使学生学习的合作

小组合作可以促进学生之间的相互交流协作，可以培养学生的合作意识、团队精神，可以在互补促进中得到共同提高。因此，在数学课堂教学中设计讨论性的作业是一个很好的选择，拓宽学生学习的空间，创造机会让学生发表自己的看法，在参与学习的活动中得到愉悦的情感体验，促进学生的智力因素和非智力因素的共同发展。为此，我给出的讨论性作业设计如下：

案例4：用消元的思想我们可以求得二元一次方程组的解，你能求出关于x，y的方程组mx+y=42x+5y=8的解吗？

几分钟后同学们开始跃跃欲试交流结果。

生1：我用代入消元法求出这个方程组的解为x=■y=■。

生2：我用加减消元法也求出了这个解，这个解应该是正确的。

生3：我认为这个方程组的解要分两种情况讨论，当2-5m≠0时，方程组才是这个解；当2-5m=0时，这个方程组无解。

开展讨论目的是让学生运用消元的基本方法解含有参数的二元一次方程组，并与一元一次方程结合根据一元一次方程ax=b的解的情况，对二元一次方程组的解进行分类。由此，我们发现并不是所有二元一次方程组都有唯一解。二元一次方程组的解的情况与系数又有什么关系呢？教师继续引导学生探索案例5。

案例5：关于x，y的方程组a1x+b1y=c1a2x+b2y=c2当各项系数满足什么条件唯一解？无解？无数解？

通过小组间的交流合作，探究。同学们得出结论：当■=■=■时方程组有无数解；当■=■≠■时方程组无解；当■≠■时方程组有唯一解。

结合一次函数、二元一次方程组的解就是两条直线的交点坐标，无解就是两条直线平行，无数解就是两条直线重合，唯一解就是两条直线相交。这就为以后求解一次函数的图像交点坐标找到了解决问题的途径和方法，也理解了这种方法的合理性和学习的必要性。学生从中学到了获取知识的方法，既锻炼了能力又培养了兴趣。

四、体系形成的作业设计，推动学生知识的整理

学生在学习数学过程中掌握有效清晰的知识体系，有助于遇到题目时迅速有效地进行知识点的提取，迅速地对题目作出判断。因而，我們教师要及时引导学生反思总结，把所学的新知识进行梳理归纳，以加深对所学新知识的理解，从而促进学生多角度思考，多途径解决问题，形成数学能力。这就能使学生进一步深化知识，灵活运用知识将起到很好的推进作用。

案例6：解方程组x+y-z=1y+z-x=5z+x-y=11你有几种不同的解法？

学生们用代入消元法或者加减消元法都得到了方程组的解，并把自己的解法和同学们开展了交流，在作业训练中把数学创新思维展现出来了，学生的解法都非常精彩。

生1：我用常规的代入消元法把三元一次方程组化为二元一次方程组就可求出这个方程组的解。

生2：我运用了加减消元法，把第一个方程加上第二个方程求出了y的解，把第二个方程加第三个方程求出了z的解，第一个方程加第三个方程求出了x的解。

生3：我把三个方程相加得到新的方程x+y+z=17，再运用整体消元的方法把新方程减第一个方程可求z的解，把新方程减第二个方程可求x的解，把新方程减第三个方程可求y的解……

学生们用多种方法解出了这道题，相信他们对消元的思想有了更深刻认识。这类作业设计主要来源于一个章节结束后的整理复习，在每节新授结束后都可用，重在对本节的知识进行重新梳理，旨在形成清晰的脉络，从而为学生构建完整的知识体系。

通过实践探讨，我认为科学合理的作业设计应着眼于学生现有的认知水平，着眼于学生的发展，满足不同需求的学生。这对教师来说是一个创造性的行为，需要教师有比较深厚的数学底蕴。

当然，学生的认知水平和学习能力是有差异的，我们的作业设计力求尽可能地满足所有学生的需求。新课标倡导的是人人都能获得必需的数学，作业有层次性才能让所有学生都能主动参与，才有创造成功的可能。特别是学习有困难的学生更要给他们提供数学学习的成功机会，更要鼓励他们用自己的方式方法去解决问题，要尽力去帮助他们逐步树立学习信心，使不同的学生在数学上得到不同的发展。

教师要设计与课堂教学相融的作业，减少不必要的重复性，以承载学习内容、体现学习方式、实施过程性评价，为学生布置高质量的作业题，才能引导学生开展自主学习，才能融会到学习的全过程中，使课堂体现自主、合作、探究等学习方式，也就促使教师借作业研究带动备课改进，从“教学设计”转向“学习设计”。

参考文献：

1.方炼.初中数学思维训练.[M].杭州出版社.2010

2.论数学创新思维的培养.赵爱云.考试周刊[J].2011

3.郑娜.例谈初中数学作业的分类教学.杭州教育[J].2017

（作者单位：浙江省杭州市临安区於潜第二初级中学）