重基础 求创新 多整合

冯丽娟

摘 要：紧张忙碌的中考早已结束，静下心来重新审视试卷，分析试题，寻找出处，提出合理化教学建议。以2017年杭州市数学中考第21题为例，从试题赏析、试题出处、解法展示、拓展延伸、教学建议几方面作简单分析，希望对今后的数学教学有所帮助。

关键词：解题能力；综合运用；重视课本；拓展延伸；融会贯通

紧张忙碌的中考早已结束，静下心来重新审视试卷，分析试题，寻找出处，提出合理化教学建议。一般大家都会比较关注最后一题，也就是压轴题。压轴题固然重要，但不是每一个学生都能做好，对于大部分学生来说，做好基础部分，做对、会做的部分才是至关重要的。即使是尖子生，不也要保证基础部分不丢分，不绕弯路吗？第21题的位置是在解答题的第5题，此题至关重要，一般来说，此题不会太简单，不会像前几个解答题那么一目了然就能解决，但也不像后两题那么难，需要花费大量的时间。对于中下同学来说，此题做对了，那分数就会提高一个档次。对于中上同学来说，在此题中不卡题，顺利通关，才能留有足够时间完成后两题，同时也会更有底气继续答题。所以，无论对于哪一类学生，中考第21题必须拿下。下面就2017年杭州市数学中考第21题作简单分析：

一、试题赏析

2017年杭州市数学中考第21题：如图1，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B，D重合）GE⊥DC于点E，GF⊥BC于点F，联结AG。

（1）写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；

（2）若正方形ABCD的边长为1，∠AGF=105°，求線段BG的长。

题目条件简单明了，主要考查了特殊平行四边形、三角形全等、勾股定理、特殊直角三角形的边长之间的关系。但是每一小题的解答都需要添加辅助线，这就给此题增加了难度。有关特殊平行四边形的内容是在浙江版八上第五章，继第四章平行四边形之后学的。至此，初中阶段由线段所组成的平面图形基本上已经介绍完毕。正方形是一种最特殊的平行四边形，它也是特殊的矩形、特殊的菱形。因此，它具有平行四边形、矩形、菱形所有的性质，它还可以分割出三角形、特殊三角形等，所以把正方形放入题中，需要综合运用多方面的知识，可以说是集合了大部分平面几何图形的内容和性质，考查得比较细致，比较全面。在2016年的杭州市数学中考中，第21题也是由正方形构造的图形，同样需要运用正方形的性质、三角形的全等和三角函数等知识解决。说明近两年中考，在对几何图形的考查上有一定的吻合性。由此可见，在几何图形的考查中，放入一个关于正方形的题型，并分割出一些三角形，既能考查四边形的内容，又涉及三角形的知识，可以比较全面地考查学生对平面几何图形的掌握情况，以及综合运用相关性质的解题能力。

二、试题出处

寻找试题出处，在浙教版数学八下第五章特殊平行四边形，课本第126页例2：

已知：如图2，在正方形ABCD中，G是对角线BD上的一点，GE⊥CD，GF⊥BC，E，F分别为垂足，联结AG，EF，求证AG=EF。

这个例题与中考第21题的第（1）小题相似，图形大致一样，只是多了一条联结EF，解答过程都需要添加辅助线：联结GC，不同的是课本原题是要求证AG=EF，是一个明确的结果，而要证明两条线段相等，学生马上可以想到证三角形全等，相对来说方法容易形成。而中考题是要写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；这是一个开放的问题，不清楚它们之间有怎样的关系，一时间可能不易得到方法，这就在课本例题的基础上提升了一个档次，需要学生有足够的平面图形的相关知识，才能联系这三条线段之间的数量关系，从而猜想结果并进行证明。而第（2）小题，是在原图的基础上又增加了一个条件，这样的改编是源于课本，又高于课本的体现。其实借助正方形的一条对角线平分一组对角后，可以单独拎出△ABG，这个三角形中，已知两角分别为45°和60°，并且一条边长为1，这种图形实际上在九下第一章解直角三角形中是很常见的，准确地说应该是解斜三角形，在解直角三角形的应用中有很多这样的实际情境。在这里，只是把这类解斜三角形放在了正方形中，与正方形的性质结合起来，增加了难度，也体现了数学知识之间的整合。

三、解法展示

（1）联结GC，运用正方形边长相等和一条对角线平分一组对角的性质，证明△ABG≌△CBG（SAS），或证明△ADG≌△CDG（SAS），得到AG=GC，再根据有三个角是直角的四边形是矩形，证明四边形GFCE是矩形，得到GF=EC，最后利用勾股定理得到GF2+GE2=AG2。此题中，三条线段之间的数量关系，与以往的题目有不同之处，以往判断两条或三条线段之间的数量关系，结果通常是两条线段相等，或是两条较短线段的和等于较长那条线段，像这样的最终利用勾股定理得到三条线段的数量关系，比较少见、新颖。

四、拓展延伸

为进一步提高，以及想把一个题目的功效发挥的尽可能大，于是想到对此题进行拓展延伸。此题的第（1）问，条件不变，结论可以改为“探索AG与EF之间的关系”，这也是一个开放性的问题，而这里的关系应分为数量关系和位置关系，数量关系的证明跟之前的方法一致。位置关系的证明相对来说有一定的难度。需要延长AG，与EF相交于点M，延长FG，与AD相交于点N，证明△ANG≌△FGE（SAS）得∠NAG=∠GFE，再利用对顶角∠AGN=∠FGM，于是得到第三个角相等，即∠GMF=∠ANG=90°。这样的改动要求学生有较完整的平面几何图形的性质，及较强的综合解题能力。

在“2017年杭州市中小学教师专业技术职务晋升教学能力水平考试”中，更是将此题条件中的“正方形”改为“长方形”，并使AG⊥BD（其他条件不变），要求写出线段AG，GE，GF长度之间的数量关系，并说明理由；看似小小的改动，但是却难倒了很多参加考试的老师们。因为这样一来，虽然点G由一个动点变为固定点，但是正方形特有而长方形不具有的性质不能用了，缺少了很多条件，全等就不能证了，而是要利用三角形相似等内容来解决了，确实有点复杂，但作为教师自己可以研究探索。只有教师本人具备探索创新的精神，才能在平时的教学中，慢慢地渗透给学生，潜移默化地影响学生，逐步提高学生的数学综合能力。

五、教学建议

2017年杭州市数学中考第21题注重基础考查，题型回归课本，又有一定的创新提高，贴近初中数学的教学实际。鉴于此，提出如下教学建议：

1.回归课本，重视对课本例题的教学

课标指出，数学教材为学生的数学学习活动提供了学习主题、基本线索和知识结构，是实现数学课程目标，实施数学教学的重要资源。因此，在平时数学教学中应重视回归课本，认真钻研教材，讲好、用好、学好课本，充分发挥教材的优势，注重学生对基础知识的掌握和理解，才能使学生各方面的能力得到提高。同时，我们要重视对课本例题的教学，教材中所选的例题都是很典型的，是经过精选，具有一定代表性的，例题教学具有相当重要的地位，它是学生接受新知识的起点，搞好课本例题的剖析教学，不仅能加强对概念、公式、定理的理解，而且对培养学生发现问题、解决问题的能力以及抽象思维能力等方面，能发挥其独特的功效。例题教学不是简单地让学生看一遍例题，或是教师说一遍例题，而是教师要设计一些有效的问题，一步步引导学生，让学生通过自主探索，自主发现结论，并能通过某个例题，有一定的数学解题方法掌握。近两年的数学中考题，都有课本例题或练习改编的，说明中考的考查也越来越趋向回归课本，重视对学生基础知识、基本技能的考查。学生只有顺利完成了基础部分的题目，才有能力和精力去钻研较难的题。

2.立足课本，适时进行改编及延伸

每次的考试，题目有可能跟课本中的某个题目相似，但不可能一模一样，有的学生学得比较死，只要题目稍稍改动，就不知如何动手，这就需要教师在平时的教学活动中慢慢渗透，逐步培养这方面的能力。比如在某个题目教学时，教师能适当地改变某个条件或结论，或者增加条件，进行题目的改编及再生，让学生进一步思考，从而总结由一个题目出发，由一个知识点出发，能拓展到几个题目，能拓宽到几个知识点，培养学生思维的发散性和整合性，有利于学生综合数学能力的提高。在平时的教学活动中，切忌单纯的就题讲题，要能举一反三，这就需要教师有足够的基本功，课前做过大量的准备，尝试改编及拓展，要把一个题目的功效发挥得尽可能大。

3.单元结束，及时进行归纳整理

在平时教学工作中，当每一章结束时，应及时引导学生对本章内容进行归纳整理，才能使学生更好地掌握所学内容。如上述题目中，有些学生不知道矩形、正方形有哪些性质，或是漏了某条性质，那么此题就不易解决。而在学习特殊平行四边形时，确实有很多的性质和判定，学生记忆比较困难，且容易搞混。因此在复习时，应系统地归纳整理，把零碎的知识点串起来，可以用列表格的形式进行比较，可以借助图形进行记忆，而不是单纯地背文字，这是数学与其他功课的不同之处。让学生的头脑里有这样的一些图表，这样学生印象比较深刻。将前后知识点融会贯通，培养学生综合解决问题的能力。同时，还可以让学生进行纠错整理，把平时练习、考试时做错的题目整理、归类，再进行重点复习。

4.融会贯通，加强知识之间的联系和整合

数学教学虽然按单元进行分类，但是每一个单元之间又有着千丝万缕的联系，最终的题型大多数都是你中有我，我中有你。在中考题中，经常可以看到代数与几何的碰撞，函数与图形的结合等。如上述的题目中，有特殊平行四边形的内容，也有之前学的三角形全等的证明，还有之后学的三角函数的应用。往往一个题目不会是单纯的一块知识点，必定是很多知识的整合，这就需要学生在平时的学习过程中，能把前后知识融会贯通，串联起来，而不是学了这个，丢了那个，解题过程中，如果某个知识点的遗忘或斷层，就无法顺利进行下一步操作。而培养学生的综合运用能力，还得靠我们教师的引导和渗透。

参考文献：

1.郝旭岚.2014年河北省中考数学试题赏析及反思[J].中国数学教育，2014（21）：52-55.

2.叶聪.高中数学教学应重视回归课本[J].文理导航，2012（23）：32.